定理9.6（有限个间断点的有界函数必可积）若f在[a,b]上有界，且只有有限多个间断点，则f在[a,b]上可积前页后页返回
前页 后页 返回 定理9.6（有限个间断点的有界函数必可积） f 在 [a, b] 上可积. 若 在 上有界，且只有有限多个间断点，则 f a b [ , ]
S 4 定积分的性质本节将讨论定积分的性质，包括定积分的线性性质、关于积分区间的可加性、积分不等式与积分中值定理，这些性质为定积分研究和计算提供了新的工具一、定积分的性质二、积分中值定理前页后页返回
前页 后页 返回 §4 定积分的性质 一、定积分的性质 本节将讨论定积分的性质, 包括定积分 的线性性质、关于积分区间的可加性、积 分不等式与积分中值定理, 这些性质为定 积分研究和计算提供了新的工具. 二、积分中值定理 返回
一、定积分的性质性质1若f在「a,bl上可积，k为常数，则kf在[a,b]上也可积,且[kf(x)dx=k[" f(x)dx.证 记 J=[' f(x)dx. 由于 在[a, b]上可积, 故V>0,38>0,当|T<8时,对一切5, [x-1,x,l,82(5,)Ax,-A1+1i=1从而后页返回前页
前页 后页 返回 [ , ] ( )d ( )d . b b a a 在 上也可积，且 a b k f x x k f x x = 证 ( )d . b a 记 J f x x = 由 在 上可积 故 f a b [ , ] , 一、定积分的性质 1 0, 0, [ , ], T x x i i i 当 时,对一切 − 1 ( )Δ . 1 n i i i f x J k = − + 从而 性质1 若 f 在 [ a,b ] 上可积，k 为常数, 则 k f
n1Zkf(5,)Ax,-kJ-(klf(5,)Ax; -Ji1i18<k<8.k/+1因此 kf 在[a, b] 可积, 且[kf(x)dx=k[ f(x)dx前页后页返回
前页 后页 返回 1 1 ( )Δ ( )Δ n n i i i i i i k f x kJ k f x J = = − = − 因此 kf a b 在[ , ] , 可积 ( )d ( )d . = b a b a 且 kf x x k f x x . 1 k k +
性质2若f,g在[a,b]上可积,则f±g在[a,b]上可积, 且 I'(f(x)±g(x)dx=I' f(x)dx±[' g(x)dx.证记 J,=, f(x)dx, J,=[,g(x)dx. 于是 Vs>0,38>0, 当 T<8时,V5, e[x,-1,x,l, i=1,2, ",n,2(5)4x,-g(5)4x,-1号后页返回前页
前页 后页 返回 性质2 若 在 上可积 f g a b , [ , ] , 则 在 上 f g a b [ , ] 可积, 且 ( ( ) ( ))d ( )d ( )d . b b b a a a f x g x x f x x g x x = 证 1 2 ( )d , ( )d . b b a a J f x x J g x x = = 记 于是 0, 1 0, [ , ], 1,2, , , T x x i n i i i = 当 时， − 1 1 ( )Δ , 2 n i i i f x J = − 2 1 ( )Δ . 2 n i i i g x J = −