§3.4药物在体内的分布 何为房室系统? 人离 在用微分方程研究实际问题时,人们常常采用一种叫 房室系统”的观点来考察问题。根据研究对象的特征 或研究的不同精度要求,我们把研究对象看成-个整体 单房室系统)或将其剖分成若千个相互存在着某种联 系的部分(多房室系统)。 房室具有以下特征:它由考察对象均匀分布而成, (注:考察对象一般并非均匀分布,这里采用了一种简 化方法一集中参数法);房室中考察对象的数量或度 (密度)的变化率与外部环境有关,这种关系被称为 单房室系统 交换”且交换满足着总量守衡。在本节中,我们将用 交换 房室系统的方法来研究药物在体内的分布。在下一节中, 我们将用多房室系统的方法来研究另一问题。两者都很境(内部 简单,意图在于介绍建模方法。 均匀分布
§3.4 药物在体内的分布 何为房室系统？ 在用微分方程研究实际问题时，人们常常采用一种叫 “房室系统”的观点来考察问题。根据研究对象的特征 或研究的不同精度要求，我们把研究对象看成一个整体 （单房室系统）或将其剖分成若干个相互存在着某种联 系的部分（多房室系统）。 房室具有以下特征：它由考察对象均匀分布而成， （注：考察对象一般并非均匀分布，这里采用了一种简 化方法一集中参数法）；房室中考察对象的数量或浓度 （密度）的变化率与外部环境有关，这种关系被称为 “交换”且交换满足着总量守衡。在本节中，我们将用 房室系统的方法来研究药物在体内的分布。在下一节中， 我们将用多房室系统的方法来研究另一问题。两者都很 简单，意图在于介绍建模方法。 交换 环境 内部 单房室系统 均匀分布
药物分布的单房室模型 单房室模型是最简单的模型,它假设:体内药物在任一时刻都 是均匀分布的,设时刻体内药物的总量为x(t);系统处于一种动 态平衡中,即成立着关系式:d_()( dt dt dt 药物的分解与排泄(输出)速率通常被认为是与药物当前的浓 度成正比的,即:(a k 假设药物均匀分布 环境 药物的输入规律与给药的方式有 关。下面,我们来研究一下在几种常( 机体 dx 见的给药方式下体内药体的变化规律 药物总量 图3-8
药物的分解与排泄（输出）速率通常被认为是与药物当前的浓 度成正比的，即： dx kx dt = 出 药物分布的单房室模型 单房室模型是最简单的模型，它假设：体内药物在任一时刻都 是均匀分布的，设t时刻体内药物的总量为x(t)；系统处于一种动 态平衡中，即成立着关系式： dx dx dx dt dt dt = − 入 出 药物的输入规律与给药的方式有 关。下面，我们来研究一下在几种常 见的给药方式下体内药体的变化规律。 机体 环境 药物总量 x t( ) dx dt 入 dx dt 出 图3-8 假设药物均匀分布
情况1快速静脉注射 在快速静脉注射时,总量为D的药物在瞬间被注入体内 设机体的体积为V,则我们可以近似地将系统看成初始总量为 D,浓度为DV,只输出不输入的房室,即系统可看成近似地 满足微分方程: d +kx=0 (3.12) x(0)=D 负增长率的 Malthus模型 其解为: x(t)=de 药物的浓度:c() 与放射性物质类似,医学上将血浆药物浓度衰减一半所需的 时间称为药物的血浆半衰期: 只输出不 环境 机体、输入房室 k dt
情况1 快速静脉注射 机体 环境 x t( ) dx dt 出 x D (0) = 只输出不 输入房室 其解为： ( ) kt x t De− = 药物的浓度： ( ) D kt c t e V − = 与放射性物质类似，医学上将血浆药物浓度衰减一半所需的 时间称为药物的血浆半衰期： 1 2 ln 2 t k = 负增长率的Malthus模型 在快速静脉注射时，总量为D的药物在瞬间被注入体内。 设机体的体积为V，则我们可以近似地将系统看成初始总量为 D，浓度为D/V，只输出不输入的房室，即系统可看成近似地 满足微分方程： 0 (0) dx kx dt x D + = = （3.12）
情况2恒速静脉点滴 药物似恒速点滴方式进入体内,即:(ax K 人头具 则体内药物总量满足:a db +kx=K0(x(0)=0) 13) 这是一个一阶常系数线性方程,其解为 易见 x(t)=0(1-e)或C(t) lim K k C() 对于多次点类似可讨论以后各次点滴时 间的间隔时间 设为T2,则 的情况,区别只在初值上的 得出。其后 不同。第二次点滴起,患者 度可由上式 体内的初始药物浓度不为零 恒定速率 (第一次)C()=, 环境」 机体 输入房室 d Vk x(0)=0 出 71≤长1+12
情况2 恒速静脉点滴 机体 环境 x t( ) dx dt 出 x(0) 0 = 恒定速率 输入房室 K0 dt dx = 药物似恒速点滴方式进入体内，即: 0 dx K dt = 则体内药物总量满足： 0 dx kx K dt + = （x(0)=0） （3.13） 这是一个一阶常系数线性方程，其解为： 0 ( ) (1 ) K kt x t e k − = − 0 ( ) (1 ) K kt C t e Vk − 易见： 或 = − 0 lim ( ) K C t t Vk = → + 对于多次点滴，设点滴时间为 称为稳态血药浓度 T1，两次点滴之间的间隔时间 设为T2，则在第一次点滴结束时病人体内的药物浓度可由上式 得出。其后T2时间内为情况1。故： 0 ( ) (1 ) K kt C t e Vk − （第一次） = − 0≤t≤T1 1 1 0 ( ) ( ) (1 ) K kT k t T C t e e Vk − − − = − T1≤t≤T1 +T2 类似可讨论以后各次点滴时 的情况，区别只在初值上的 不同。第二次点滴起，患者 体内的初始药物浓度不为零
情况3口服药或肌注 用眼的或肌肉法射时,药物的吸收方式与点滴时不同,药物 其表面与肌体接触而逐步被吸收。设药物被吸收的速率与存量 药物的数量成正比,记比例系数为K1,即若记时刻残留药物量 为y(),则满足: D为口服或肌注药物总量 d-ky 因而 y(1)=De4(y(O)=D 在通常情况下,总有k1>k(药物未吸收完前,输入速率通常总大于分解 与排泄速率),但也有例外的可能(与药物性质及机体对该药物的吸收、分 解能力有关)。当k1>时,体内药物量均很小,这种情况在医学上被称为 触发翻转(fip-flop)。当k1=6,对固定的t,令k→k取极限(应用罗 比达法则),可得出在这种情况下的血药浓度为: C(t) K,D te 从而药物浓度:co)=AD(e-c 环境Kx (k1-k)
情况3 口服药或肌注 y(t) x(t) K1y 环境 K1x 机体 外部药物 口服药或肌肉注射时，药物的吸收方式与点滴时不同，药物 虽然瞬间进入了体内，但它一般都集中与身体的某一部位，靠 其表面与肌体接触而逐步被吸收。设药物被吸收的速率与存量 药物的数量成正比，记比例系数为K1，即若记t时刻残留药物量 为y(t)，则y满足： 1 (0) dy k y dt y D = − = D为口服或肌注药物总量 因而： 1 ( ) k t y t De− = 1 1 (0) dx k t kx k De dt x D − + = = 所以： 解得： 1 1 1 ( ) ( ) k D kt k t x t e e k k − − = − − 1 1 1 ( ) ( ) ( ) k D kt k t C t e e V k k − − = − − 从而药物浓度： 在通常情况下，总有k1>k（药物未吸收完前，输入速率通常总大于分解 与排泄速率），但也有例外的可能（与药物性质及机体对该药物的吸收、分 解能力有关）。当k1>k时，体内药物量均很小，这种情况在医学上被称为 触发翻转（flip-flop）。当k1=k时，对固定的t，令k→k1取极限（应用罗 比达法则），可得出在这种情况下的血药浓度为： 1 1 ( ) k D k t C t te V − =