§37稳定性问题 在研究许多实际问题时,人们最为关心的也许并非系统与 时间有关的变化状态,而是系统最终的发展趋势。例如,在研 究某频危种群时,虽然我们也想了解它当前或今后的数量,但 我们更为关心的却是它最终是否会绝灭,用什么办法可以拯救 这一种群,使之免于绝种等等问题。要解决这类问题,需要用 到微分方程或微分方程组的稳定性理论。在下两节,我们将研 究几个与稳定性有关的问题
§3.7 稳定性问题 在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并非系统与 时间有关的变化状态，而是系统最终的发展趋势。例如，在研 究某频危种群时，虽然我们也想了解它当前或今后的数量，但 我们更为关心的却是它最终是否会绝灭，用什么办法可以拯救 这一种群，使之免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用 到微分方程或微分方程组的稳定性理论。在下两节，我们将研 究几个与稳定性有关的问题
一般的微分方程或微分方程组可以写成: f(t, x) 定义称微分方程或微分方程组 dx f(x) (3.28) 为自治系统或动力系统。 若方程或方程组八刈)=0有解和,X=显然满足(328)。称 点和为微分方程或微分方程组(328)的平衡点或奇点
一般的微分方程或微分方程组可以写成： ( , ) dx f t x dt = 定义 称微分方程或微分方程组 为自治系统或动力系统。 ( ) dx f x dt = （3.28） 若方程或方程组f(x)=0有解Xo ，X=Xo显然满足（3.28）。称 点Xo为微分方程或微分方程组（3.28)的平衡点或奇点
例7本章第2节中的 Logistic模型 dnk(K-N)N 共有两个平衡点:N=0和N=K,分别对应微分方程的两 两个特殊解。前者为N=0时的解而后者为N=K时的解。 当N<K时,积分曲线N=N)位于N=K的下方;当N>K时,则 位于N=K的上方。从图3-17中不难看出,若N>0,积分曲线在N 轴上的投影曲线(称为轨线)将趋于K。这说明,平衡点N0和 N=K有着极大的区别。 dx 定义1自治系统=f(x)的相空间是指以(x,…xn)为坐标 的空间R"。 NO>K 特别,当m=2时,称相空间为相平面。k NO<K 空间R的点集(x1…x=x()满足(3.28),云 n}称 为系统的轨线,所有轨线在相空间的分布图称为相图 图3-17
例7 本章第2节中的Logistic模型 ( ) dN k K N N dt = − 共有两个平衡点：N=0和N=K，分别对应微分方程的两 两个特殊解。前者为No=0时的解而后者为No =K时的解。 当No <K时，积分曲线N=N(t)位于N=K的下方；当No>K时，则 位于N=K的上方。从图3-17中不难看出，若No>0，积分曲线在N 轴上的投影曲线（称为轨线）将趋于K。这说明，平衡点N=0和 N=K有着极大的区别。 图3-17 定义1 自治系统 的相空间是指以（x1 ,…,xn）为坐标 的空间Rn 。 ( ) dx f x dt = 特别，当n=2时，称相空间为相平面。 空间Rn的点集{(x1 ,…,xn )}|xi =xi (t)满足(3.28)，i=1,…,n}称 为系统的轨线，所有轨线在相空间的分布图称为相图
定义2设是(328)的平衡点,称: (1)y盈宁 Q,存在一个6>0 只要根据这一定义, Logistic方 的都成立。 程的平衡点N=K是稳定的 且为渐近稳定的,而平衡点 imx()-副=0 t→)00 N=0则是不稳定的。 r成立 微分方程平衡点的稳定性除了几何方法,还可以通过解 析方法来讨论,所用工具为以下一些定理
定义2 设x0是（3.28）的平衡点，称： （1）x0是稳定的，如果对于任意的ε>0，存在一个δ>0， 只要|x(0)- x0 |<δ，就有|x(t)- x0 |<ε对所有的t都成立。 （2）x0是渐近稳定的，如果它是稳定的且 。 0 lim ( ) 0 t x t x → − = 微分方程平衡点的稳定性除了几何方法，还可以通过解 析方法来讨论，所用工具为以下一些定理。 （3）x0是不稳定的，如果（1）不成立。 根据这一定义，Logistic方 程的平衡点N=K是稳定的 且为渐近稳定的，而平衡点 N=0则是不稳定的
解析方法 定理1设和是微分方程=的平衡点 若/(x°)则°是渐近稳定的 若∫(x°)则是渐近不稳定的 证由泰勒公式 高阶微分方程与高阶微分方程组 平衡点的稳定性讨论较为复杂 大家有兴趣可参阅微分方程定性 b理论为了下两节的需要,我们 简单介绍一下两阶微分方程组平 衡点的稳定性判别方法
解析方法 定理1 设x o是微分方程 的平衡点： f (x) dt dx = '( ) 0 o 若 f x ,则x o是渐近稳定的 '( ) 0 o 若 f x , 则x o是渐近不稳定的 证 由泰勒公式，当x与x o充分接近时，有： ( ) ( ) '( )( ) ( ) o o o o f x f x f x x x o x x = + − + − 由于x o是平衡点，故f(x o)=0。若 ，则当 x<x o时必有f(x)>0，从而x单增；当x>x o时，又有 f(x)<0，从而x单减。无论在哪种情况下都有x→x o ，故x o是渐进稳定的。 '( ) 0 o f x f x'( ) 0 o 的情况可类似加以讨论。 高阶微分方程与高阶微分方程组 平衡点的稳定性讨论较为复杂， 大家有兴趣可参阅微分方程定性 理论。为了下两节的需要，我们 简单介绍一下两阶微分方程组平 衡点的稳定性判别方法