§3.5传染病模型 传染病是人类的大敌,通过疾病传播过程中若千重要因素 之间的联系建立微分方程加以讨论,研究传染病流行的规律 并找出控制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的工作。 在本节中,我们将主要用多房室系统的观点来看待传染病的 流行,并建立起相应的多房室模型。 问题的提出: 医生们发现,在一个民族或地区,当某种传染病流传时 波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会 得病也非毫无规律,两次流行(同种疾病)的波及人数不会 相差太大。如何解释这一现象呢?试用建模方法来加以证明
§3.5 传染病模型 传染病是人类的大敌，通过疾病传播过程中若干重要因素 之间的联系建立微分方程加以讨论，研究传染病流行的规律 并找出控制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的工作。 在本节中，我们将主要用多房室系统的观点来看待传染病的 流行，并建立起相应的多房室模型。 医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时， 波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会 得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会 相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。 问题的提出：
模型 设某地区共有n+1人,最初时刻共有认得病,时刻已 感梁( infective)的病人数为f(n),假定每一已感染者在单位 时间内将疾病传播给k个人(k称为该疾病的传染强度),且 设此疾病既不导致死亡也不会康复 则可导出:(dh 故可得 ki i(t)=ie (3.15) i(o=i 此模型即 Malthus模型,它大体上反映了传染病流行初期的 病人增长情况,在医学上有一定的参考价值,但随着时间的推 移,将越来越偏离实际情况。 已感染者与尚未感染者之间存在着明显的区别,有必要将人 群划分成已感染者与尚未感染的易感染,对每一类中的个体则 不加任何区分,来建立两房室系统
设某地区共有n+1人，最初时刻共有i人得病，t时刻已 感染（infective）的病人数为i(t)，假定每一已感染者在单位 时间内将疾病传播给k个人（k称为该疾病的传染强度），且 设此疾病既不导致死亡也不会康复 模型1 此模型即Malthus模型，它大体上反映了传染病流行初期的 病人增长情况，在医学上有一定的参考价值，但随着时间的推 移，将越来越偏离实际情况。 已感染者与尚未感染者之间存在着明显的区别，有必要将人 群划分成已感染者与尚未感染的易感染，对每一类中的个体则 不加任何区分，来建立两房室系统。 ( ) o di ki dt i o i = = 则可导出： 故可得： ( ) kt o i t i e = （3.15）
模型2 记时刻的病人数与易感染人数( susceptible)分别为() 与(),初始时刻的病人数为如根疖下死也不会康复的 假设及(竟模型7为了使模型更精 无沙 确,有必要再将 可、象 模(人群细分,建立 病,与 多房室系统 解得 i(1) k(n+D) (317 1+c.e 其中: n+1 统计结果显示,(3.17预报结果比315)事 接近实际情况。医学上称曲线为此值与传染病的实际高峰期非常 线,并称最大值时刻t为此传染病接减,可用作医学上的预报公式 001 0得 In c k(n+1)
模型2 记t时刻的病人数与易感染人数（susceptible）分别为i(t) 与s(t)，初始时刻的病人数为 i。根据病人不死也不会康复的 假设及（竞争项）统计筹算律， 1 o o o i c n i = + − 其中： ( 1) ( 1) ( 1) ( ) 1 k n t o k n t o c n e i t c e + + + = + 解得： （3.17） ( ) ( ) 1 ( ) o di kis dt i t s t n i o i = + = + = 可得： （3.16） 统计结果显示，(3.17)预报结果比(3.15)更 接近实际情况。医学上称曲线 为传染病曲 线，并称 最大值时刻t 1为此传染病的流行高 峰。 ~ di t dt di dt 2 2 0 d i dt 令： = 1 ln ( 1) o c t k n = − + 得： 此值与传染病的实际高峰期非常 接近，可用作医学上的预报公式。 模型2仍有不足之处，它 无法解释医生们发现的现 象，且当时间趋与无穷时， 模型预测最终所有人都得 病，与实际情况不符。 为了使模型更精 确，有必要再将 人群细分，建立 多房室系统
模型3 将人群划分为三类(见右图):易感染者、已感染 者和已恢复者〔 recovered)。分别记时刻的三类人数为 s()、i和r(),则可建立下面的三房室模型 边一=0称为传染的从系数 Suscep k (3.18) S(t)+(t)+r(t)=n+1(3) infective i(0)=in,r(o)=0 求解过程如下: recovere 对(3)式求导,由(1)、(2)得:d k dy 解得 s(t)=s 记 则 r(t) k
infective recovered susceptible k l (1) (2) ( ) ( ) ( ) 1 (3) , ( ) 0 o di ksi li dt dr li dt s t i t r t n i(o) i r o = − = + + = + = = （3.18） l 称为传染病恢复系数 求解过程如下： 对（3）式求导，由（1）、（2）得： ds k dr ksi s dt l dt = − = − ( ) ( ) k r t l o s t s e − = 解得： 记： l k = 则： 1 ( ) ( ) r t o s t s e − = 将人群划分为三类（见右图）：易感染者、已感染 者和已恢复者（recovered）。分别记t时刻的三类人数为 s(t)、i(t)和r(t)，则可建立下面的三房室模型： 模型3
如果ssp,则有 根本流行不起来。 鉴于在本模型中的作用P被 医生们称为此疾病在该地区 增加的同时 的阀值?的引入解释了为什 i(开始减小, 么此疾病没有波及到该地区 的所有人。 0.3 s随少p=1 图3-14
infective recovered susceptible k l 由(1)式可得： di ds ds ds li dt dt dt s dt = − − = − + 从而解得： 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ln ( ) ( ) 1 ( ) ( ) o o o r t o s t i t i s s t s s t s e r t n i t s t − = + − + = = + − − 积分得： ( ) ( ) ( ) ln o o o s t i t i s s t s = + − + （3.19） 不难验证，当t→+∞时，r(t)趋向于一个 常数，从而可以解释医生们发现的现象。 为揭示产生上述现象的原因（3.18）中 的第（1）式改写成： ( ) di ki s dt = − 其中 通常是一个与疾病种类有关的 较大的常数。 k l = 下面对 进行讨论，请参见右图 0 di dt 如果 so ，则有 ，此疾病在该地区根本流行不起来。 如果 ，则开始时 ，i(t)单增。但在i(t)增加的同时， 伴随地有s(t)单减。当s(t)减少到小于等于 时， i(t)开始减小， 直至此疾病在该地区消失。 o s 0 di dt 鉴于在本模型中的作用， 被 医生们称为此疾病在该地区 的阀值。 的引入解释了为什 么此疾病没有波及到该地区 的所有人。 图3-14