二、极限的四则运算法则 定理3.若imf(x)=A,limg(x)=B,则有 lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±lmg(x)=A±B 证:因imf(x)=A,limg(x)=B,则有 f(x=A+a, g(x)=B+B (其中a,B为无穷小) 于是f(x)±g(x)=(4+a)±(B+B) =(A±B)+(a±B) 由定理1可知a±β也是无穷小,再利用极限与无穷小 的关系定理,知定理结论成立 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、 极限的四则运算法则 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 证: 因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 f (x) = A+ , g(x) = B + (其中 , 为无穷小) 于是 f (x) g(x) = (A+ ) (B + ) = (A B) + ( ) 由定理 1 可知 也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 . 定理 3 . 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束
推论:若imf(x)=A,limg(x)=B,且f(x)≥g(x) 则A≥B.(P45定理5) 提示:令(x)=f(x)-8(x 利用保号性定理证明 说明:定理3可推广到有限个函数相加、减的情形 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
推论: 若 lim f (x) = A, limg(x) = B, 且 f (x) g(x), 则 A B . ( P45 定理 5 ) (x) = f (x) − g(x) 利用保号性定理证明 . 说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 . 提示: 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理4.若limf(x)=A,lm8(x)=B,则有 lim[f(xg()]= lim f(x)lim g(x)=AB 提示:利用极限与无穷小关系定理及本节定理2证明 说明:定理4可推广到有限个函数相乘的情形 推论1.lim[Cf(x)=Clmf(x)(C为常数) 推论2.lim[f(x)=[limf(x)]n(n为正整数) 例2.设n次多项式Pn(x)=a0+a1x+…+anx",试证 lim P(x)=P(xo) 证: lim p.(x)=a0+a1limx+…+ a. lim x x→>x0 r->x Pn(xo) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理 4 . 若 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 . 说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论 1 . lim[C f (x)] = Clim f (x) ( C 为常数 ) 推论 2 . n n lim[ f (x)] = [lim f (x)] ( n 为正整数 ) 例2. 设 n 次多项式 试证 lim ( ) ( ). 0 0 P x P x n n x x = → 证: = → lim ( ) 0 P x n x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束