章节（单元）教案一、概率与频率的概念对于随机试验中的随机事件，在一次试验中是否发生，虽然不能预先知道，但是它们在一次试验中发生的可能性是有大小之分的。比如掷一枚均匀的硬币，那么随机事件A（正面朝上）和随机事件B（正面朝下）发生的可能性是一样的（都为1/2）。又如袋中有8个白球，2个黑球，从中任取一球。当然取到白球的可能性要大于取道黑球的可能性。一般地，对于任何一个随机事件都可以找到一个数值与之对应，该数值作为发生的可能性大小的度量。定义1.1：随机事件A发生的可能性大小的度量（数值），称为A发生的概率，记为P(A)。对于一个随机试验来说，它发生可能性大小的度量是自身决定教的，并且是客观存在的。概率是随机事件发生可能性大小的度量是学流自身的属性。一个根本问题是，对于一个给定的随机事件发生可能程性大小的度量一一概率，究竞有多大呢？再来看，掷硬币的试验，做一次试验，事件A（正面朝上）是否发生是不确定的，然而这是问题的一个方面，当试验大量重复做的时候，事件A发生的次数，也称为频数，体现出一定的规律性，约占总试验次数的一半，也可写成f,(A)=A发生的频率=频数/试验总次数，接近于1/2一般的，设随机事件A在n次试验中出现n次，比值f.(A)=nA/n称为事件A在这n次试验中出现的频率历史上有人做过掷硬币的试验实验者nn..(A)蒲丰404020480.5070K.皮尔逊1200060190.5016/24000120120.5005K.皮尔逊
章节（单元）教案 教 学 流 程 一、概率与频率的概念 对于随机试验中的随机事件，在一次试验中是否发生，虽然不 能预先知道，但是它们在一次试验中发生的可能性是有大小之分的。 比如掷一枚均匀的硬币，那么随机事件 A（正面朝上）和随机事件 B （正面朝下）发生的可能性是一样的（都为 1/2）。又如袋中有 8 个白球，2 个黑球，从中任取一球。当然取到白球的可能性要大于 取道黑球的可能性。一般地，对于任何一个随机事件都可以找到一 个数值与之对应，该数值作为发生的可能性大小的度量。 定义 1.1:随机事件 A发生的可能性大小的度量（数值），称为 A发 生的概率，记为 P(A)。 对于一个随机试验来说，它发生可能性大小的度量是自身决定 的，并且是客观存在的。概率是随机事件发生可能性大小的度量是 自身的属性。一个根本问题是，对于一个给定的随机事件发生可能 性大小的度量——概率，究竟有多大呢？ 再来看，掷硬币的试验，做一次试验，事件 A （正面朝上）是 否发生是不确定的，然而这是问题的一个方面，当试验大量重复做 的时候，事件 A 发生的次数，也称为频数，体现出一定的规律性， 约占总试验次数的一半，也可写成 ( ) n f A A发生的频率=频数/试验 总次数，接近于 1/2. 一 般 的 ， 设 随 机 事 件 A 在 n 次 试 验 中 出 现 A n 次 ， 比 值 ( ) n A f A n n 称为事件 A 在这n 次试验中出现的频率. 历史上有人做过掷硬币的试验 实验者 n A n ( ) n f A 蒲丰 4040 2048 0.5070 K．皮尔逊 12000 6019 0.5016 K．皮尔逊 24000 12012 0.5005
（由历史上许多的比较著名的统计学家为了得到真理，不厌其烦地对一个试验重复进行。对学生进行思政教育，让学生知道真理往往不是轻而易举可以获得的，需要坚持不懈的努力，消除学生的急功近利的、浮躁的风气，使学生能平心静气地学习。）从上表可以看，不管什么人去抛，当试验次数逐渐增多时，J，(A)总是在0.5附近摆动而逐渐稳定与0.5。从这个例子可以看出，一个随机试验的随机事件A，在n次试验中出现的频率f,(A)，当试验的次数n逐渐增多时，它在一个常数附近摆动，而逐渐稳定与这个常数。这个常数是客观存在的，“频率稳定性”的性质，不断地为人类的实践活动所证实，它揭示了隐藏在随机现象中的规律性。教试判断“频率的极限就是概率”这句话是否正确？即：学lim "4 = P(A)流x→o. n程吗？不正确由ε-N定义，若lim"=P(A)成立,x→n则 V>0,3N>0, Vn>N=/"-P(A) <8 .而频率具有随机性，Vn>N，并不能保证|"-P(A)<s恒成立.例如，当nA=n时，取&<1-P(A)，上述不等式就不成立。因此，在概率论与数理统计中不能沿用数学分析中的一般极限定义了。随机事件A在一次随机试验中是否会发生，事先不能确定，但希望知道它发生可能性的大小，这里先引入频率的概念，进而引出表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数字度量一一一概率。一、频率及其性质1、定义1在相同条件下重复进行了n次试验，如果事件A在这n次
教 学 流 程 (由历史上许多的比较著名的统计学家为了得到真理,不厌其烦 地对一个试验重复进行。对学生进行思政教育，让学生知道真理往 往不是轻而易举可以获得的,需要坚持不懈的努力,消除学生的急功 近利的、浮躁的风气，使学生能平心静气地学习。) 从上表可以看，不管什么人去抛，当试验次数逐渐增多时， ( ) n f A 总是在 0.5 附近摆动而逐渐稳定与 0.5。从这个例子可以看出，一 个随机试验的随机事件 A，在n 次试验中出现的频率 ( ) n f A ，当试验 的次数n 逐渐增多时，它在一个常数附近摆动，而逐渐稳定与这个 常数。这个常数是客观存在的，“频率稳定性”的性质，不断地为 人类的实践活动所证实，它揭示了隐藏在随机现象中的规律性。 试判断“频率的极限就是概率”这句话是否正确？即： lim ( ) A x n P A n 吗？ 不正确 由 N 定义，若lim ( ) A x n P A n 成立， 则 0,N 0, n N P(A) n nA ． 而频率具有随机性，n N ，并不能保证 P(A) n nA 恒成立. 例如，当nA n 时，取 1 PA ，上述不等式就不成立。 因此，在概率论与数理统计中不能沿用数学分析中的一般极限定 义了。 随机事件 A在一次随机试验中是否会发生，事先不能确定，但希 望知道它发生可能性的大小．这里先引入频率的概念，进而引出表 征事件在一次试验中发生的可能性大小的数字度量———概率． 一、频率及其性质 1、定义1 在相同条件下重复进行了n 次试验，如果事件 A在这n 次
试验中发生了n,次，则称比值na/为事件A发生的频率，记作f,(A)它具有下述性质：1°非负性0≤fn(A)≤1；2°规范性f,(S)=13°有限可加性若A,A2,,A是两两互不相容事件,则频率J.(A)的大小表示了在n次试验中事件A发生的频繁程度．频率大，事件A发生就频繁，在一次试验中A发生的可能性就大，反之亦然。因而直观的想法是用频率来描述A在一次试验中发生的可能性的大小。2、频率的稳定性随机事件A在相同条件下重复多次时，事件A发A生的频率在教一个固定的数值p附近摆动，随机试验次数的增加更加明显，事件的学流频率稳定在数值p，说明了数值p可以用来刻划事件A发生可能性程的大小，可以规定为事件A的概率二、概率的统计定义定义2对任意事件A，在相同的条件下重复进行n次试验，事件A发生k次，从而事件A发生的频率<，随着试验次数n的增大n而稳定地在某个常数p附近摆动，那么称p为事件A的概率P(A)= p.上述定义称为随机事件概率的统计定义．在实际应用时，往往可用试验次数足够大时的频率来估计概率的大小，且随着试验次数的增加，估计的精度会越来越高：在实际中，我们不可能对每一个事件都做大量的试验，然后求得事件发生的频率，用以表征事件发生的概率为此给出概率的严格的公理化定义，三、概率的公理化定义定义3设E是随机试验，Q是它的样本空间，对E的每一个事件A赋
教 学 流 程 试验中发生了 A n 次，则称比值 A n n 为事件 A发生的频率，记作 ( ) n f A 它具有下述性质: 1 非负性 0 f (A) 1 n ； 2 规范性 ( ) 1; n f S 3 有 限 可 加 性 1 2 , , , , 若A A Ak是两两互不相容事件 则 频 率 ( ) n f A 的大小表示了在n 次试验中事件 A发生的频繁程度．频率大， 事件 A 发生就频繁，在一次试验中 A 发生的可能性就大，反之亦 然．因而直观的想法是用频率来描述 A在一次试验中发生的可能性 的大小． 2、频率的稳定性 随机事件 A 在相同条件下重复多次时，事件 A 发 A 生的频率在 一个固定的数值 p 附近摆动，随机试验次数的增加更加明显,事件的 频率稳定在数值 p ，说明了数值 p 可以用来刻划事件 A 发生可能性 的大小，可以规定为事件 A的概率. 二、概率的统计定义 定义 2 对任意事件 A，在相同的条件下重复进行n 次试验，事 件 A 发生k 次，从而事件 A 发生的频率 k n ，随着试验次数 n 的增大 而稳定地在某个常数 p 附近摆动,那么称 p 为事件 A 的概率 P(A) p . 上述定义称为随机事件概率的统计定义．在实际应用时，往往 可用试验次数足够大时的频率来估计概率的大小，且随着试验次数 的增加，估计的精度会越来越高．在实际中，我们不可能对每一个 事件都做大量的试验，然后求得事件发生的频率，用以表征事件发 生的概率．为此给出概率的严格的公理化定义． 三、概率的公理化定义 定义3 设 E 是随机试验， 是它的样本空间，对 E 的每一个事件 A赋
予一个实数，记为P(A)，若P(A)满足下列三个条件：（1）非负性对每一个事件A，有P(A)≥0；（2）规范性对于必然事件2，有P(2)=1;（3）可列可加性设A,A2是两两互不相容的事件，有 (AIUA2U..) =f (A)+f (A2)+..则称P(A)为事件A发生的概率。一、古典概型我们称具有下列两个特征的随机试验模型为古典概型，（1）随机试验只有有限个可能的结果；（2）每一个结果发生的可能性大小相同．古典概型又称为等可能概型.教学设试验E是古典概型，样本空间为Q=の,0",0,，则基本流程事件，，两两互不相容，=))由于P(2)=1及P(o)=P(o,)=.…=P(αn)，因此P()=- P(0,) =..= P(o.)=- 1若事件A包含k个基本事件，即A=U(2)U...U(k）其中i,2i是1,2n中某k个不同的数，则有P(A)= P()+ P(0,)+ .P(ox)= <即 P(4)=4中包含基本事件数_<S中基本事件总数n二、古典概率的基础1基本计数原理：(1)加法原理设完成一件事有m种方式，其中第一种方式有n种方法，第二种方式有n,种方法，.，第m种方式有n种方法
教 学 流 程 予一个实数，记为 P(A)，若 P(A)满足下列三个条件： （1）非负性 对每一个事件 A，有 P(A) 0 ； （2）规范性 对于必然事件 ，有 P() 1； （ 3 ） 可 列 可 加 性 设 1 2 A , A , 是 两 两 互 不 相 容 的 事 件 ， 有 1 2 1 2 f (A A ) f (A ) f (A ) 则称 P(A)为事件 A 发生的概率． 一、古典概型 我们称具有下列两个特征的随机试验模型为古典概型． （1）随机试验只有有限个可能的结果； （2）每一个结果发生的可能性大小相同．古典概型又称为等可 能概型． 设试验 E 是古典概型，样本空间为 1 2 { , , , } n ，则基本 事件 1 { }， 2 { }，.，{ } n 两两互不相容， 1 2 { } { } { } n 由于 P() 1及 1 2 ( ) ( ) ( ) P P P n ，因此 1 2 1 ( ) ( ) ( ) P P P n n 若事件 A包含k 个基本事件，即 1 2 { } { } { } A i i ik 其中 1 2 , , k i i i 是1,2,, n 中某k 个不同的数，则有 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) i i ik k P A P P P n 即 ( ) A k P A n 中包含基本事件数 S中基本事件总数 二、古典概率的基础 1 基本计数原理： (1)加法原理 设完成一件事有m 种方式,其中第一种方式有 1 n 种方法，第二种方式有 2 n 种方法，.,第 m 种方式有 m n 种方法
无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事的方法总数为n, +n, +...+nm(2)乘法原理设完成一件事有m个步骤，其中第一个步骤有n种方法，第二个步骤有n,种方法，，第m个步骤有n.种方法；教学流完成该件事必须通过每一步骤才算完成，则完成这件事的方法总数为n,xn,x..xnm.程2.排列组合方法（1）排列公式：从n个不同元素中任取k个的不同排列总数为n!A, =(n-r)!(2）组合公式；从n个不同元素中任取k个的不同组合总数为n!C=A_.r!(n-r)!r!教学后记
教 学 流 程 无论通过哪种方法都可以完成这件事,则完成这件事的方法总数为 m n n n 1 2 . (2)乘法原理 设完成一件事有 m 个步骤,其中第一个步骤有 1 n 种方法，第二个步骤有 2 n 种方法，.，第m 个步骤有 m n 种方法； 完成该件事必须通过每一步骤才算完成，则完成这件事的方法总数 为 m n n n 1 2 . 2. 排列组合方法 （1）排列公式：从 n 个不同元素中任取 k 个的不同排列总数为 ! ( )! rn n A n r （2） 组合公式；从 n 个不同元素中任取 k 个的不同组合总数为 教 学 后 记 r Cn ! ! ! n r n r ! r An r