证1）当，位于第一行第一列时，00ana21a22aznD=:·.anlan2ann即有-aahaaaam=aZ(-1)ha2ham.-aM又A.-(-1)+M.-Mu,从而D-aA.2）再证一般情形，此时
证 1）当 aij 位于第一行第一列时, n n nn n a a a a a a a D 1 2 21 22 2 11 0 0 = 即有 1 2 1 2 ( ) 1 2 1 ( 1) n n n N j j j j j nj j D a a a = = − 又 ( ) 11 1 1 A11 = −1 + M , = M11 从而 . D = a11A11 2）再证一般情形, 此时 2 2 (1 ) 11 2 2 ( 1) n n n N j j j nj j a a a = = − 2 2 ( ) 11 2 2 ( 1) n n n N j j j nj j a a a = = − 11 11 = a M
alain1··.·00D-a..anlannanj把D的第行依次与第i-1行，第i一2行，第1行对调，00ai.得D-(-1y-1ai-1,1ai-l,jai-1,n..:anlanjann
n nj nn ij j n a a a a a a a D 1 11 1 1 = 0 0 把D的第i行依次与第i −1行,第i − 2行,第1行对调, 得 ( ) n nj nn i i j i n ij i a a a a a a a D 1 1,1 1, 1, 1 0 0 1 − − − − = − aij aij
再把D的第列依次与第i一1列，第i一2列，第1列得对调,D=(-1)-1.(-1)-a-1,ji-1,n1anjannan,j-1
, 1 , 2 , 1 对调 再把D的第j列依次与第j − 列 第j − 列 第 列 得 ( ) ( ) nj n j nn i j i j i n ij i j a a a a a a a D , 1 1, 1, 1 1, 1 1 0 0 1 1 − − − − − − − = − −
00aij....·-(-1)+i-2ai-1,ja,-1,na,-1,j-1.·amnanjan,j-100au·...-(-1)+ia,-1,jai-1,nai-1,j-1......anjannan,j-1
( ) nj n j nn i j i j i n ij i j a a a a a a a , 1 1, 1, 1 1, 2 0 0 1 − − − − − + − = − ( ) nj n j nn i j i j i n ij i j a a a a a a a , 1 1, 1, 1 1, 0 0 1 − − − − − + = − aij
a,-1,n中的元素a,在行列式ai-1,a,-1,j-1..anjan,j-1ann余子式仍然是a，在ailain1·..00D-中的余子式M··anlanjann
n nj nn ij j n a a a a a a a D 1 11 1 1 = 0 0 中的余子式 . Mij 余子式仍然是 在 元素 在行列式 中的 ij nj n j nn i j i j i n ij ij a a a a a a a a a , 1 1, 1, 1 1, 0 0 − − − − − aij aij