《线性代数（Linear Algebra）》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 矩阵 2-4 矩阵的秩

第4节矩阵的秩1.k阶子式2.矩阵的秩3.矩阵秩的求法

第4节 矩阵的秩 1. k阶子式 2. 矩阵的秩 3. 矩阵秩的求法

1、k阶子式定义1在mxn矩阵A中，任取k行与k列（k<m，k<n），位于这些行列交叉处的K个元素，按原来的次序组成的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式例如货是A的A-一个二阶子式mxn矩阵A的k阶子式有CkCk个

          1 1 −2 1 4 2 −1 −1 1 2 2 −3 1 −1 2 3 6 −9 7 9 A=  定义1 在mn矩阵A中 任取k行与k列(km kn) 位于这些行列交叉处的k 2个元素 按原来的次序组 成的k阶行列式 称为矩阵A的k阶子式 例如 D= 是A的 一个二阶子式 mn 矩阵 A 的 k 阶子式有 k n k Cm C 个 1 1 − − 3 1 1、k阶子式

2.矩阵的秩定义2矩阵A的非零子式的最高阶数称为A的秩记作r(A).注（1）若A为mxn矩阵，则0≤r(A）≤min（m，n）(2) r(A)=r(A)(3）对于n阶矩阵A,当A+0时，r(A)=n，称A为满秩矩阵当A=0时,r(A)<n.称A为降秩矩阵

定义2 矩阵A的非零子式的最高阶数称为A的秩 记作r(A). 注 (1) 若A为mn矩阵 则0 r(A) min{m n} (2) r(AT)=r(A) (3) 对于n阶矩阵A 当|A|0时r(A)=n,称A为满秩矩阵 当|A|=0时r(A)n 称A为降秩矩阵 2. 矩阵的秩

23123-5的秩。例2.4.1求矩阵A=471解：A的三阶子式只有一个，经计算知A-0，23--1±0,但A中有一个二阶子式23因此r(A)=2

但A中有一个二阶子式 1 0 2 3 1 2 =−   例 2.4.1 求矩阵 的秩。           = − 4 7 1 2 3 5 1 2 3 A 解： A的三阶子式只有一个，经计算知|A|=0， 因此 r(A)=2

512342508例2.4.2求矩阵A的秩：0O21200OO000O解：在A中，由它的1，2，3行与1，2，行阶梯形矩阵3列构成的一个三阶子式145058一10±000国而A的所有四阶子式全为零，即r(A)=3

例 2.4.2 求矩阵A的秩：                 − − = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 5 8 2 2 4 5 3 A 10 0 0 0 1 0 5 8 2 4 5 =  − 解：在A中，由它的1，2，3行与1，2， 3列构成的一个三阶子式 而A的所有四阶子式全为零，即r(A)=3. 行阶梯形矩阵