《线性代数（Linear Algebra）》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 向量 3-2 向量组的线性相关性

第2节向量组的线性相关性1.向量组的线性组合2.向量组的线性相关与线性无关3.向量组线性相关性的判定4.向量组线性相关性的性质

第2节 向量组的线性相关性 1. 向量组的线性组合 2. 向量组的线性相关与线性无关 3. 向量组线性相关性的判定 4. 向量组线性相关性的性质

1.向量组的线性组合α与β不共线时，任意一个向量在平面解析几何中我们知道：平面上的向量α与，由平行四边形法则，可找到常数k、kz，使α与β共线β=kα；k,a0Bk,β010X0BX=ka+kβ

1. 向量组的线性组合 2 k  k1 α 在平面解析几何中我们知道: 平面上的向量 ， 共线： ； 不共线时, 任意 一个向量 , α与β α与β α与β β = kα  y O x β = kα β = kα y O x β = kα β = kα  1 2 γ = k k α + β 由平行四边形法则，可 找到常数k1、k2 , 使

定义1向量组A：α，αzα和向量β，若存在一组数k,kz,.…,k，使得β=k,α+k,αz+...+ka则称向量β是向量组A的线性组合，又称向量β可以由向量组A线性表示（或线性表出）注：（1）零向量是任一向量组的线性组合：2）向量组中任一向量都是该向量组的线性组合

定义1 向量组 A : α1 2 , , , α αs 和向量 , 若存在 1 2 s 一组数 k k k , , , , 使得 β = kα β = k k k 1 1 2 2 α + α + + s s α 则称向量 β 是向量组 = kα A的线性组合, 又称向量 可以由 向量组A线性表示(或线性表出). β = kα 注: (1) 零向量是任一向量组的线性组合; (2) 向量组中任一向量都是该向量组的线性组合

任何一个n维向量a=（a,a,…，a）例1都是n维单位向量组：108=800的线性组合，因a=ae+a8+...+anen

例1 任何一个n维向量 ( ) α = a a an T 1 2 ， ， ， 都是n维单位向量组： ,                                     1 2 1 0 0 0 1 0 = = , , = 0 0 1 n    α = a a a 1 1 2 2 + + + n n    的线性组合, 因

(20例2已知α,=1，αz-2，β=4，那么5）7向量β可由向量组αz线性表示：β=2α,+αz。23；那一例3已知405向量β不能由向量组αi，αz线性表示

例3 已知 1 2  1 1 2 1 2 3 α = α = = 1 0 4 0 1 5                                     ， ， 向量 不能由向量组 线性表示. 1 2 β = kα α ,α , 那么 例2 已知                               1 2 1 0 2 α = 1 α = 2 = 4 1 5 7 ， ， ，, 那么 向量 可由向量组 线性表示： . 1 2 β = kα α ,α