第八章欧氏空间8.1向量的内积正交基8.28.3正交变换8.4对称变换和对称矩阵课外学习9：实现正交化过程的新方法
第八章 欧氏空间 8.1 向量的内积 8.2 正交基 8.3 正交变换 8.4 对称变换和对称矩阵 课外学习9：实现正交化过程的新方法
在几何学中（编者按：在数学中），没有专门为国王设置的捷径--欧几里德（Euc1id，约前325-约前265）
在几何学中（编者按:在数学中），没有专门为国 王设置的捷径。 -欧几里德(Euclid ,约前325 - 约前265)
8.1向量的内积一、内容分布8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角8.1.3两向量正交、正交向量组的定义、性质二、教学目的：1.准确理解并掌握以下概念及其基本性质：向量的内积、欧氏空间、向量的长度、单位向量、两非零向量的夹角、两同量正交、两向量的距离2．掌握常见的几种欧氏空间：会用向量的内积及欧氏空间的定义判断向量与Ⅱ的内积<，>，以及向量空间关于这个内积构成欧氏空间3.掌握,n>≤<,n,n>及其它不等式，并会用它来证明另一些不等式三、重点难点：1.准确理解并掌握向量的内积、欧氏空间及两向量正交的概念：<≤,n>≤<5,><n,n>的灵活运用2.不等式
8.1 向量的内积 一、内容分布 8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义 8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角 8.1.3两向量正交、正交向量组的定义、性质 二、教学目的： 1．准确理解并掌握以下概念及其基本性质：向量的内积、欧氏空间、向量的 长度、单位向量、两非零向量的夹角、两向量正交、两向量的距离． 2．掌握常见的几种欧氏空间；会用向量的内积及欧氏空间的定义判断向量ξ 与η的内积<ξ,η>，以及向量空间关于这个内积构成欧氏空间． 3．掌握 , 2 及其它不等式，并会用它来证明另 三、重点难点： 1.准确理解并掌握向量的内积、欧氏空间及两向量正交的概念; 2.不等式 , 2 的灵活运用. 一些不等式
8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义定义1设V是实数域R上一个向量空间.如果对于v中任意一对向量≤,n有一个确定的记作<5,n>的实数与它们对应，并且下列条件被满足：1) <≤,n>=<n,≤>2)<=+,>=<≤,5>+<,5>3)<a5,n>=a<5,n>4)当 ≤0时,<,n>>0这里，n，是V的任意向量，a是任意实数，那么<,n>叫做向量与n的内积，而V叫做对于这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）
8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义 1) , , 2) , 3) aa , 4) 当 0 时, 0, 定义1 设V是实数域R上一个向量空间. 如果对于 V中任意一对向量 有一个确定的记作 , 的实数与它们对应，并且下列条件被满足： , 这里 , 是V的任意向量，a是任意实数， , 那么 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）. 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于
例1在R"里,对于任意两个向量E =(xi, X.... xn), n = (yi, y2....yn)规定 <E,n>=xiJi +X22 +...+Xnyn容易验证，关于内积的公理被满足，因而Rn对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间例2在 R"里,对于任意向量E =(xi, X2... Xn), n =(1, y.... yn)规定 <5,n>=Xiy +X22 +...+Xnyn不难验证，R"也作成一个欧氏空间
n R ,( ,., ), 21 n xxx ),.,( 21 n yyy nn , . yxyxyx 2211 例1 在 规定 里,对于任意两个向量 容易验证,关于内积的公理被满足,因而 n R 对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间. n R ,( ,., ), 21 n xxx ),.,( 21 n yyy nn , . yxyxyx 2211 例2 在 规定 里,对于任意向量 不难验证, 也作成一个欧氏空间. n R