第七章线性变换7.1线性映射7.2线性变换的运算7.3线性变换和矩阵7.4不变子空间7.5特征值和特征向量7.6可以对角化矩阵课外学习8：一类特殊矩阵的特征值
第七章 线性变换 7.1 线性映射 7.2线性变换的运算 7.3 线性变换和矩阵 7.4 不变子空间 7.5 特征值和特征向量 7.6 可以对角化矩阵 课外学习8：一类特殊矩阵的特征值
当代数和几何结合成伴侣时，他们就相互吸取对方的新鲜活力，并迅速地趋于完美。一一一拉格朗日（Lagrange,1736-1813)数与形，本是相倚依，爲能分作两边飞。数缺形时少知觉，形少数时难入微。一-华罗庚（19101985
当代数和几何结合成伴侣时，他们就相互吸取 对方的新鲜活力，并迅速地趋于完美。 -拉格朗日（Lagrange,1736-1813） 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。 数缺形时少知觉，形少数时难入微。 -华罗庚（1910－1985）
7.1线性映射一、内容分布7.1.1线性映射的定义、例7.1.2线性变换的象与核二、教学目的：1.准确线性变换（线性映射）的定义，判断给定的法则是否是一个线性变换（线性映射）：2.正确理解线性变换的象与核的概念及相互间的联系，并能求给定线性变换的象与核，三、重点难点：判断给定的法则是否是一个线性变换（线性映射），求给定线性变换的象与核
7.1 线性映射 一、内容分布 7.1.1 线性映射的定义、例. 7.1.2 线性变换的象与核. 二、 教学目的: 1．准确线性变换（线性映射）的定义，判断给定 的法则是否是一个线性变换（线性映射）． 2．正确理解线性变换的象与核的概念及相互间的 联系，并能求给定线性变换的象与核． 三、 重点难点: 判断给定的法则是否是一个线性变 换（线性映射），求给定线性变换的象与核．
7.1.1线性映射的定义、例设F是一个数域，V和W是F上向量空间定义1设g是V到W的一个映射.如果下列条件被满足，就称g是V到W的一个线性映射：①对于任意 ≤,nE V, o(+n)=o()+o(n)②对于任意aEF,V,o(a)=ao()容易证明上面的两个条件等价于下面一个条件-③对于任意a,beF和任意,nVo(a=+bn)=ao()+bo(n)
7.1.1 线性映射的定义、例 设F是一个数域，V和W是F上向量空间. 定义1 设σ是V 到W 的一个映射. 如果下列条 件被满足，就称σ是V 到W 的一个线性映射： ①对于任意 ②对于任意 容易证明上面的两个条件等价于下面一个条件： ③对于任意 和任意 V, ()()( ). aaVFa )()(, , Fba V, baba )()()(
在②中取α=0，对③进行数学归纳，可以得到：(1) (0)= 0(2) o(ai5i +...+anEn) = ajo(51)+...+ano(En)例1对于R2的每一向量==(x,x2)定义0(E)=(x1,Xf -X2,Xf +x2)e R3o是R到R的一个映射，我们证明，是一个线性映射例2令H是V中经过原点的一个平面.对于V，的每一向量，令α（表示向量在平面H上的正射影根据射影的性质，:→α()是 V,到 V,的一个线性映射
在②中取 ，对③进行数学归纳，可以得到： （1） （2） a 0 0)0( ( )()() 11 nn aaa 11 a nn 例1 对于 的每一向量 定义 σ是 到 的一个映射，我们证明，σ是一个线 性映射. 2 R 21 , xx 3 21211 , Rxxxxx 3 R 2 R 例2 令H是 中经过原点的一个平面.对于 的每 一向量ξ，令 表示向量ξ在平面H上的正射影. 根据射影的性质， 是 到 的一个线 性映射. V3 V3 : V3 V3