《线性代数（Linear Algebra）》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 矩阵 2-3 矩阵的初等变换

第3节矩阵的初等变换1.矩阵初等变换的定义2.初等矩阵的定义、性质3.初等矩阵在矩阵乘法中的作用4.求逆矩阵的初等行变换法

1. 矩阵初等变换的定义 2. 初等矩阵的定义、性质 3. 初等矩阵在矩阵乘法中的作用 4. 求逆矩阵的初等行变换法 第3节 矩阵的初等变换

3.初等矩阵在矩阵乘法中的作用设A则有2E.3ri>r2C用E12左乘A，相当于对A作一次相应的初等行变换

        = − 0 1 1 1 1 2 3 0 1 A 1 2 ~ r r         − 0 1 1 3 0 1 1 1 2          −         = 0 1 1 1 1 2 3 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 (1, 2) E3 A         − = 0 1 1 3 0 1 1 1 2  设    则有       = − 0 1 1 1 1 2 3 0 1 A         = − 0 1 1 1 1 2 3 0 1 A 1 2 ~ r r         − 0 1 1 3 0 1 1 1 2  下页 r1r2 3. 初等矩阵在矩阵乘法中的作用 用 左乘A 相当于对A作一次相应的初等行变换 E A         = −             12 0 1 0 3 0 1 1 0 0 1 1 2 0 0 1 0 1 1 E12

银AE3(2)=20-定理1月用初等矩阵左（右）乘A，相当于对A作一次相应的初等行（列）变换下页

        = − 0 1 1 1 1 2 3 0 1 A 1 2 ~ r r         − 0 1 1 3 0 1 1 1 2          = − 0 1 1 1 1 2 3 0 1 A 1 2 3 ~ c + c         − 2 1 1 5 1 2 5 0 1                  = − 2 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 2 3 0 1 (31(2)) AE3         = − 2 1 1 5 1 2 5 0 1  下页 c1 +2c3 定理1 用初等矩阵左（右）乘A，相当于对A 作一次相应的初等行（列）变换 31 ( ) 3 0 1 1 0 0 2 1 1 2 0 1 0 0 1 1 2 0 1 AE         = −            

推论1若A是可逆矩阵，则A经过初等变换后所得矩阵仍为可逆矩阵定理2可逆矩阵总可以经若于次初等行变换后化成单位矩阵杭

下页 ❖定理2 可逆矩阵总可以经若干次初等行变 换后化成单位矩阵. ❖推论 1 若A是可逆矩阵，则A经过初等变换 后所得矩阵仍为可逆矩阵

4.求逆矩阵的初等行变换法设A为n阶可逆矩阵，显然A-1也可逆所以存在初等矩阵P，P2，…，Ps，使A-1-P,P2...Ps

4. 求逆矩阵的初等行变换法 设A为n阶可逆矩阵 显然A−1也可逆 所以存在初等矩阵P1  P2    Ps  使 A−1=P1P2  Ps