二、y”=f(x,y型的微分方程 设y=p(x),则y”=p',原方程化为一阶方程 p'=f(x,p) 设其通解为 p=p(x,C1) 则得 y'=p(x,C1) 再一次积分，得原方程的通解 y=(x,Ci)dx+C2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
y = f (x, y ) 型的微分方程 设 y = p (x) , 原方程化为一阶方程 设其通解为 ( , ) C1 p = x 则得 ( , ) C1 y = x 再一次积分, 得原方程的通解 1 2 y = (x,C )dx + C 二、 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.求解 (1+x2)y”=2xy y以x=0=1,yx=0=3 解：设y'=p(x),则y”=p',代入方程得 (1+x2)p'=2xp分离变量 t dp 2xdx (1+x2) 积分得lnp=ln(1+x2)+lnC,即p=C1(1+x2) 利用yx=0=3,得C1=3,于是有y=3(1+x2) 两端再积分得y=x3+3x+C2 利用yx=0=1,得C2=1,因此所求特解为 y=x3+3x+1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 是上页下页返回结束
例3. 求解 (1+ x )y = 2xy 2 1, y x =0 = 3 y x =0 = 解: 代入方程得 (1 x )p 2x p 2 + = 分离变量 积分得 ln ln (1 ) ln , 1 2 p = + x + C 3 , 利用 y x =0 = 3, 得 C1 = 于是有 3(1 ) 2 y = + x 两端再积分得 2 3 y = x + 3 x + C 利用 1, y x =0 = 1, 得 C2 = 3 1 3 y = x + x + 因此所求特解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.设有一均匀，柔软的绳索，两端固定，绳索仅受 重力作用而下垂，问该绳索的平衡状态是怎样的曲线？ 解：取坐标系如图.考察最低点A到 任意点M(x,y)弧段的受力情况 A点受水平张力可 M点受切向张力T 弧段重力大小Pgs(p:密度，s:弧长 pgs 按静力平衡条件，有Tcos0=H,Tsin0=Pgs 两式相除得 tan0 -s (其中a=是) a 故有 y=V1+y2x→y=1+ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例4. 绳索仅受 重力作用而下垂, 解: 取坐标系如图. 考察最低点 A 到 弧段重力大小 ( : 密度, s :弧长) 按静力平衡条件, 有 M gs o y x ( ) g H a 其中 = y y x x 1 d 0 2 + a 1 故有 = 2 1 1 y a y = + 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: T A 点受水平张力 H M 点受切向张力T 两式相除得 H A 机动 目录 上页 下页 返回 结束