《线性代数》第四章习题解答 (-122) 7.设A2-1-2,求A及E+A的特征值。 2-2-1 2+1-2-2 解.2E-A=-2元+12=(a+1)(元+7(元-1) -221+1 则A的特征值为X1=-7,入=-1,X=1,A的特征值为: -,1,1,fA)=AE的特征值为乡,0,2。 8.证明n阶矩阵A与AT有相同的特征值。 证:∫()=E-A'=kE-0|=E-A=x) 所以A与AT有相同的特征多项式,则必有相同的特征值。 9.已知四阶方阵A的特征值为A=3(二重),入=-1(二重),求rA及detA。 解TA=3+3-1-1=4 detA=3×3×3(1)x(←1)=-9 10.设入=2是A的特征值,求42-3A+2E 解:由题设知2E-A=0,则 A2-3A+2E=(A-2E(A-E=2E-4AE-A-0 11.已知三阶矩阵A的特征值为1,-1,2,设矩阵B=A3.5A3,试求B及A-5E 解.B=fA=A35A2,f入)=入35A3 A的特征值为1,-1,2,则B的特征值为-4,6,-12 所以B(-4-6-12288 又M2=1y12·2-4B-44-5E 则4-5月=月=举=2 12.设A为四阶方阵,且3E+A=0,AA=2E,A<0,求伴随矩阵A的一个特征值。 解据A为四阶方阵,且3E+A=0, 由3E+-(1)卜3E-A=上3E-=0,可知A的一个特征值为-3。 6
《线性代数》第四章习题解答 6 7. 设 A= − − − − − 2 2 1 2 1 2 1 2 2 ,求 A 及 E+A-1 的特征值。 解. E − A = 2 2 1 2 1 2 1 2 2 − + − + + − − = ( +1) ( + 7 )( −1 ) 则 A 的特征值为λ1=-7,λ2=-1,λ3=1, A-1 的特征值为: - 7 1 , -1, 1, f(A-1 )=A-1 +E 的特征值为 7 6 ,0,2 。 8.证明 n 阶矩阵 A 与 AT有相同的特征值。 证: f E A E A E A T T A T () = − = ( − ) = − =fa(λ) 所以 A 与 AT有相同的特征多项式,则必有相同的特征值。 9. 已知四阶方阵 A 的特征值为λ=3(二重),λ=-1(二重),求 trA 及 detA。 解. TrA=3+3-1-1=4 detA= 333(−1)(−1) =9 10.设λ=2 是 A 的特征值,求 A 3A 2E 2 − + . 解: 由题设知 2E − A =0 , 则 A 3A 2E 2 − + .= (A− 2E)(A− E) = 2E − A E − A =0 11. 已知三阶矩阵 A 的特征值为 1,-1,2,设矩阵 B=A3 -5A2,试求 B 及 A−5E . 解. B=f(A)=A3 -5A2 , f(λ)=λ3 -5λ2 , A 的特征值为 1,-1,2,则 B 的特征值为-4,-6,-12 所以 B =(-4)(-6)(-12)=-288 又 2 A =(-1)2·1 2·2 2 =4 B = 2 A A−5E 则 A−5E = 2 A B = 4 −288 =-72 12.设 A 为四阶方阵,且 3E + A = 0,AAT=2E , A <0,求伴随矩阵 A*的一个特征值。 解.据 A 为四阶方阵,且 3E + A = 0, 由 3E + A =(-1)4 − 3E − A = − 3E − A = 0 ,可知 A 的一个特征值为-3
《线性代数》第四章习题解答 据AA=2E,4<0,由A4=AA=4,2E=2E=16 得A=16,取A=-4,故A=4A=-4A A的一个特征值为3,则A的一个特征值为-,从而A的一个特征值为(-4)(-青)=专 13.设非零向量a=(a,a2…an,B=(么b2…bnY满足aTB=0且n阶方阵A=aB',求(1) A3,(2)A的特征值与特征向量。 解.(1)因为aTB=0,A=aB', 则 A2=(a B)(a B')=a(B'a)B'=(B'a)(a B) =(aB)(aB)=0·A=0 (2)设AX=X,X≠0,则AX=X 另一方面A2X=0X-0,故1X=0,由X≠0,得入=0,即A的特征值均为零。 a 0E-A=(-A)=-a BT=- :k6…b a.) a,ba,b2…a,bn)(bb…bn a,bab3…a,bn 00…0 … abab…abn0000 即得b1x1+b2x++bX=0,因为B是非零向量,设b1≠0,则基础解系 (- - 0 =0,=1 …,P-=0 (0J (0 所以A的全部特征向量为kP1+kP++kPn,(k,k2…,ka1不全为零)。 14.证明 (I)若A-B,则ATB: (2)若A可逆,则ABBA 证(1)因为A~B,则存在可逆矩阵P,使PAP=B, 从而pAPy=B,取Q(Py,则QAQ-B,显然Q可逆,得证 (2)因为A可逆,则(AAB)A-BA,依定义ABBA 15.设ABCD,试证A0)B0) 1
《线性代数》第四章习题解答 7 据 AAT=2E , A <0, 由 2 AA A A A T T = = , 2 2 16 4 E = E = 得 16 2 A = ,取 A =-4,故 A*= A A-1=-4A-1 A 的一个特征值为-3,则 A-1 的一个特征值为 3 1 − ,从而 A*的一个特征值为(-4)( 3 1 − )= 3 4 . 13. 设非零向量α=( ) T a1 a2 an ,β= ( ) T b1 b2 bn 满足αTβ=0 且 n 阶方阵 A=αβT,求(1) A2, (2)A 的特征值与特征向量。 解.(1)因为αTβ=0, A=αβT, 则 A2=(αβT ) (αβT )= α(βTα)βT =(βTα)(αβT ) = (αβT )(αβT )=0·A=0 (2) 设 AX=λX , X≠0, 则 A2X=λ2X, 另一方面 A2X=0X=0,故λ 2X=0 ,由 X≠0,得λ=0, 即 A 的特征值均为零。 0E-A=(-A)=-αβT =- ( ) n n b b b a a a 1 2 2 1 =- n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 → 0 0 0 0 0 0 0 1 2 b b bn 即得 b1x1+b2x2+…+bnxn=0,因为β是非零向量,设 b1≠0, 则基础解系 − = 0 0 1 1 2 1 b b P , − = 0 1 0 1 3 2 b b P , … , − − = 1 0 0 1 1 b b n n P 所以 A 的全部特征向量为 k1P1+k2P2+…+kn-1Pn-1,(k1, k2,, …, kn-1 不全为零)。 14.证明 (1)若 A~B,则 AT~BT; (2)若 A 可逆,则 AB~BA 证(1) 因为 A~B,则存在可逆矩阵 P,使 P -1AP=B, 从而 P TAT (PT ) -1=BT,取 Q=(PT ) -1,则 Q-1ATQ=BT, 显然 Q 可逆,得证。 (2)因为 A 可逆,则(A-1 )(AB)A=BA,依定义 AB~BA。 15.设 A~B,C~D,试证 C A 0 0 ~ D B 0 0