上连续,则参变量积分(1)定义的函数在区间 闭上可微,并且 af(x, (≤a≤的) x ON(x,y) dx +(p'o)=N(x,y) 或 IN(x,y)-N(xo,y)+()=N(x,y) 从而应取 积分后得到 y)=M(x,y)中y+ 因为只要 就够了,故取 于是,函数 U(x, y)=M(x, y)dx+ N(xo, y)dy (1.51) 就是所求的原函数,而全微分方程(1.10)的通积分是 M(x,y)dx+ N(Xo, >)dy=c (1.52 定理12不但给出了判断方程(1.10)为全微分方程的充要条件,而且给出了当判别式 (1.50)成立时,(151)式就是(1.10)左端的原函数,而(1.52)就是(1.10)的通积分 例2求解方程 12 解因为 所以这方程是全微分方程M(xyk则(x,y)在整个xy平面都连续可微不妨选取 (不一定非这么选不可,这么选只是为了简单)故方程通积分为 x2+6x)+f4y4 x3+3x2y2+y4 为了求全微分方程10)满足初值条件)的解,以而,y)代入
上连续，则参 变量积分（1）定义的函数 在区间 上可微，并且 或 从而应取 积分后得到 因为只要一个 就够了，故取 .于是，函数 (1.51) 就是所求的原函数，而全微分方程(1.10)的通积分是 (1.52) 定理 1.2 不但给出了判断方程(1.10)为全微分方程的充要条件，而且给出了当判别式 (1.50)成立时，(1.51)式就是(1.10)左端的原函数，而(1.52)就是(1.10)的通积分. 例 2 求解方程 解 因为 所以这方程是全微分方程. 及 在整个 xoy 平面都连续可微.不妨选取 (不一定非这么选不可，这么选只是为了简单).故方程通积分为 即 为了求全微分方程(1.10)满足初值条件 的解，以 代入
10,.可定出C=0因此方程(10满足初值条件(x)=为的初值问题的积分为 M(x,y)dx+ N(xo,y)dy (1.53) 1.5.2积分因子 以上我们给出了全微分方程的求解公式,但是,方程(1.10)未必都是全微分方程,例 如,下面这个简单方程 (1.54) 就不是全微分方程,因为 a-1, 如果,将上面这个方程两端同乘以x,得到方程 一子+ (1.55) 这是一个全微分方程,因为此时有 M 通常我们利x2为方程(154)的积分因子,因为它可使方程154)变成全微分方程(55 一般地,我们有下面的定义 假如存在这样的连续可微函数x)≠Q,使方程 (1.56) 成为全微分方程,我们就把[x称为方程(10的一个积分因子 易于看到, f4(x,y)≠0 时,方程(1.10)与(156是同解的于是,为了求解(1.10),只 须求解156就可以了,但是如何求得积分因子以x川呢?下面就来研究求积分因子 的方法 方程(1.56是全微分方程的充要条件为 展开并整理后,上式化成
(1.10)，可定出 C=0.因此方程(1.10)满足初值条件 的初值问题的积分为 (1.53) 1.5.2 积分因子 以上我们给出了全微分方程的求解公式，但是，方程(1.10)未必都是全微分方程，例 如，下面这个简单方程 (1.54) 就不是全微分方程，因为 如果，将上面这个方程两端同乘以 ，得到方程 (1.55) 这是一个全微分方程，因为此时有 通常我们称 为方程(1.54)的积分因子，因为它可使方程(1.54)变成全微分方程(1.55). 一般地，我们有下面的定义. 假如存在这样的连续可微函数 ，使方程 (1.56) 成为全微分方程，我们就把 称为方程(1.10)的一个积分因子. 易于看到，当 时，方程(1.10)与(1.56)是同解的.于是，为了求解(1.10)，只 须求解(1.56)就可以了，但是如何求得积分因子 呢?下面就来研究求积分因子 的方法. 方程(1.56)是全微分方程的充要条件为 展开并整理后，上式化成
(1.57) 般地说,偏微分方程(157)是不易求解的不过,对于某些特殊情况,(157)的求解问题 还是比较容易的下面我们给出两种特殊的积分因子的求法 1.方程(1.10)存在只与x有关的积分因子的充要条件是 只与x有关,且此时有 (1.58) 证明必要性,若方程(10在只与有关的积分因观,则有“这样15 成为 MaN、 ay ax 即 (1.59) 因为(159)左端只与x有关,所以它的右端也只与x有关 充分性,如果只与x有关,且以是方程(159)的解, 即 不难验证,以对)就是(10的一个积分因子证毕 2.方程(1.10存在只与y有关的积分因子的充要条件是 aM aN 只与y有关,且此时有 4(y) (160) 证明与1.相似证明 例4求解方程 解因为
(1.57) 一般地说，偏微分方程(1.57)是不易求解的.不过，对于某些特殊情况，(1.57)的求解问题 还是比较容易的.下面我们给出两种特殊的积分因子的求法. 1．方程(1.10)存在只与 x 有关的积分因子的充要条件是 只与 x 有关，且此时有 (1.58) 证明 必要性，若方程(1.10)存在只与有 关的积分因子 ，则有 ,这样(1.57) 成为 即 (1.59) 因为(1.59)左端只与 x 有关，所以它的右端也只与 x 有关. 充分性，如果 只与 x 有关，且 是方程(1.59)的解， 即 不难验证， 就是(1.10)的一个积分因子. 证毕. 2．方程(1.10)存在只与 y 有关的积分因子的充要条件是 只与 y 有关，且此时有 (1.60) 证明 与 1．相似证明. 例 4 求解方程 解 因为
与y无关,故原方程存在只与x有关的积分因子,由公式(158)有 1)= =e-2l= (x) 将积分因 乘以原方程两端,即得全微分方程(155.现取x0=1.y=0 则 通积分为 ()dx+中y=C 本节要点 1.全微分方程的解法本质是求一个全微分的原函数问题 2.求原函数的常用方法 观察法,适用于简单方程 公式法,(1.51)式 3.积分因子的求法要求掌握公式(158)和公式(1.60),即会求只与x有关或只与 y有关的积分因子 作业: 1(2)A(4)(6)2(L)(3) 练习1.5 1.解下列方程 dx+(y3+nx)小 (2) (4) (6)(1-y'sin 2x)dx 2.求下列方程的积分因子和积分 (3) xa+y2+x)dx-xydy=0 答案 1.(2)ke 2.(1) 3x4+4x3+6x2y2=C
与 y 无关，故原方程存在只与 x 有关的积分因子，由公式(1.58)有 将积分因子 乘以原方程两端，即得全微分方程(1.55)．现取 则 通积分为 即 本节要点: 1．全微分方程的解法本质是求一个全微分的原函数问题． 2．求原函数的常用方法 观察法，适用于简单方程． 公式法，（1.51）式． 3．积分因子的求法要求掌握公式（1.58）和公式（1.60），即会求只与 x 有关或只与 y 有关的积分因子． 作业： 练习 1.5， 1. (2),(4),(6) 2. (1),(3). 练习 1.5 1．解下列方程： （2） （4） （6） 2．求下列方程的积分因子和积分： （1） （3） 答案 1．（2） （4） （6） 2．（1）
(3) 16一阶隐式微分方程 前面几节介绍的是求解显式方程 =f(x, y) (1.9) 的一些初等积分法本节要讨论如何求解隐式方程 F(x,y,y)=0 方程(1.8)也称为导数未解出的一阶方程 求解方程(18的问题分两种情况考虑: 1.假如能从(18)中把解出,就得到一个或几个显式方程 (x,y) (2=1,2,……,n) 如果能用初等积分法求出这些显式方程的解,那么就得到方程1.8)的解 例1求解方程 (x +y)y+xy=0 解方程左端可以分解因式,得 从而得到两个方程 这两个方程都可以求积,得到 x2+C及 它们都是原方程的解 2.如果在(18)中不能解出时,则可用下面介绍的“参数法求解,本节主要介绍其 中两类可积类型, 类型I F(x,y)=0,(F(y,y)=0) 类型Ⅱ 类型I的特点是,方程中不含y或x;类型Ⅱ的特点是y可以解出或x可以解出 首先,考虑类型I中的方程 (161) 我们已经知道,方程(161)的一个解y=(x,d(xy平面上的图象是一条曲线,而曲
（3） 1.6 一阶隐式微分方程 前面几节介绍的是求解显式方程 （1.9） 的一些初等积分法.本节要讨论如何求解隐式方程 （1.8） 方程(1.8)也称为导数未解出的一阶方程. 求解方程(1.8)的问题分两种情况考虑： 1． 假如能从(1.8)中把 解出，就得到一个或几个显式方程 如果能用初等积分法求出这些显式方程的解，那么就得到方程(1.8)的解. 例 1 求解方程 解 方程左端可以分解因式， 得 从而得到两个方程 这两个方程都可以求积， 得到 它们都是原方程的解. 2．如果在(1.8)中不能解出 时，则可用下面介绍的“参数法”求解，本节主要介绍其 中两类可积类型， 类型Ⅰ 类型Ⅱ 类型Ⅰ的特点是，方程中不含 y 或 x ；类型Ⅱ的特点是 y 可以解出或 x 可以解出. 首先，考虑类型Ⅰ中的方程 （1.61） 我们已经知道，方程(1.61)的一个解 ，在 平面上的图象是一条曲线，而曲