线是可以用参数表示的,称为参数形式解,即是定义在区间三出上的可微函数 x=1()y=使得 在区上恒成立 显然,如果能从方程(1.61)中求出解》=)(x,再把它参数化,就可以得到161)的 参数形式解,但这是没有什么意义的下面介绍的参数法,是在方程(161)中当解不出 来时,先把方程(1.61)化成等价的参数形式,然后根据某种恒等式,可以求出原方程(1.61) 的参数形式解这种求解过程就称为参数法具体作法如下: (1)方程(1.61)化成参数形式 从几何上看,(xy)=表示(xy平面上的曲线,可以把这曲线表示为适当的参 数形式 x= p(t) y=v(t) (1.62) 这里t是参数,当然有 F(q),v()=0 (163) 成立 2)求(1.61)的参数形式解 由于(1.62)和沿着(161)的任何一条积分曲线上恒满足基本关系式 这样,把(1.62)代入上式,得 dy=w(t)o(r)dt 上式两端积分,得到 b=wep()d+ 于是,得到方程(61)的参数形式通解 X-w y=w(t)o(t)dt+C (164) 不难验证:将(1.64)代入(161)得到(1.63),这说明(64)确实是(61)的参数形式通解 同理,可以讨论类型I的方程 F(,y2=0 (165)
线是可以用参数表示的，称为参数形式解，即是定义在区间 上的可微函数 使得 在 上恒成立. 显然，如果能从方程(1.61)中求出解 ，再把它参数化，就可以得到(1.61)的 参数形式解，但这是没有什么意义的.下面介绍的参数法，是在方程(1.61)中当 解不出 来时，先把方程(1.61)化成等价的参数形式，然后根据某种恒等式，可以求出原方程(1.61) 的参数形式解.这种求解过程就称为参数法.具体作法如下： (1)方程(1.61)化成参数形式 从几何上看， 表示 平面上的曲线，可以把这曲线表示为适当的参 数形式 （1.62） 这里 t 是参数，当然有 （1.63） 成立. (2)求(1.61)的参数形式解 由于(1.62)和沿着(1.61)的任何一条积分曲线上恒满足基本关系式 这样，把(1.62)代入上式，得 上式两端积分，得到 于是，得到方程(1.61)的参数形式通解 （1.64） 不难验证：将(1.64)代入(1.61)得到(1.63)，这说明(1.64)确实是(1.61)的参数形式通解. 同理，可以讨论类型Ⅰ的方程 (1.65)
设其可以表示的参数形式 y=u(t) 由于 有 dx =--o(t)dt 积分,得 p()at+C 从而(165)的参数形式通解为 p(t)dt+Cl y=( 例2求解方程h+y2 解令y=,有x阻团原方程的参数形式为 由基本关系式 中= tan t cos td=出mdl 积分得到 t+c 从而原方程的参数形式通解为 y=-cost +C 也可以消去参数t,得到原方程的通积分为
设其可以表示的参数形式 由于 有 积分，得 从而(1.65)的参数形式通解为 例 2 求解方程 . 解 令 ，有 原方程的参数形式为 由基本关系式 有 积分得到 从而原方程的参数形式通解为 也可以消去参数 t ，得到原方程的通积分为
通解为 C±√1 现在,考虑类型Ⅱ中的方程 从几何上看,方程(16表示[xy空间中的曲面,令=xy=P,有 y=(x2),这样(16的参数形式是 y=f(x, p) (1.67) 同样,由基本关系式有 将(167)代入上式,得 fx(x,p)dx+(xp)中=pdn f(x,2)+;(x,p)=P 或 这是一个关于自变量为x,未知函数为p的方程如果能求得通解 p=p(x, c) 代入到(1.67)的第三个方程中,即得(166)的通解 ) 如果只能求得(1.68)的通积分 (x,p.C)=0 则它与(1.67)的第三个方程联立, (x,P, C) 为(1.66)的参数形式解,若能消去参数p,可得(1.66)的通解或通积分 在上述求解过程中,请读者注意:当从方程(168)中解H=P(x时,只要将其代 入(167)的第三式,就得到166)的通解了,而不要再将p 再积分来求y.这 是为什么呢?因为用参数法求解方程(66)的实质意义在于:当从(.6)中不能解出 =y(x时,通过参数法,把求解(16化为一个以x为自变量,以=”为未知函数
通解为 现在，考虑类型Ⅱ中的方程 （1.66） 从 几 何 上 看 ， 方程 (1.66) 表示 空间中的曲面，令 ， 有 ，这样(1.66)的参数形式是 (1.67） 同样，由基本关系式有 将(1.67)代入上式，得 或 （1.68） 这是一个关于自变量为 x ，未知函数为 p 的方程.如果能求得通解 代入到(1.67)的第三个方程中，即得(1.66)的通解 如果只能求得(1.68)的通积分 则它与(1.67)的第三个方程联立， 为(1.66)的参数形式解，若能消去参数 p ，可得(1.66)的通解或通积分. 在上述求解过程中，请读者注意：当从方程(1.68)中解出 时，只 要将其代 入(1.67)的第三式，就得到(1.66)的通解了，而不要再将 p 认为 ，再积分来求 y ．这 是为什么呢?因为用参数法求解方程(1.66)的实质意义在于：当从(1.66)中不能解出 时，通过参数法，把求解(1.66)化为一个以 x 为自变量，以 为未知函数
的方程(168,一且从(168)中解得P=(xC,那么它当然满足6)中的第三式,即 f(x,p(x, C) ,而这相当于在(160中先把解出,又由于方程(16形式的特 殊性,使得三(x列(xQ】成为了原方程160的通解 同理,可以考虑类型Ⅱ的方程 设其参数形式为 x=f(, p) (170) 由其本关系式,有 将(170)代入上式,得 f0,p)y+J;(,p)中=÷小 fro, p)+fro,p) (171) 如果能从17解出通解P=(.C,代入到(17第三式,即得169的通积分 x=/(,P(,C) 如果从(1.71)中解出通积分 x=fo,p(, C) 将它与(1.70)第三式联立, (y,pP,C)=0 将它与(1.70)第三式联立, ④(y,P,C)=0 x=f(, p) 消去p,可得(l.69)的通积分 例4求解方程 y=y-x+=x
的方程(1.68)，一旦从(1.68)中解得 ， 那么它当然满足(1.67)中的第三式，即 有 ，而这相当于在(1.66)中先把 解出，又由于方程(1.66)形式的特 殊性，使得 成为了原方程(1.66)的通解. 同理，可以考虑类型Ⅱ的方程 (1.69) 设其参数形式为 （1.70） 由其本关系式，有 将(1.70)代入上式，得 或 （1.71） 如果能从(1.71)解出通解 ，代入到(1.70)第三式，即得(1.69)的通积分 如果从(1.71)中解出通积分 将它与(1.70)第三式联立， 将它与(1.70)第三式联立， 消去 p ，可得(1.69)的通积分. 例 4 求解方程
解令x=x,y=原方程的参数形式为 y=p--xp 由基本关系式 有 上式又可化为 (2P-x)(-1)=0 2P-x=0三,代入(1.72)的第三式,得原程的个券=少 再的的1=0 解得P=x+C,代入(172)的第三式,得原方程的通解 x2+Cx+c 例5求解方程 这里,假定是二次可微函数 解(1.73)的参数形式为 由基本关系式 有
解 令 原方程的参数形式为 (1.72) 由基本关系式 有 或 上式又可化为 由 ，代入(1.72)的第三式，得原程的一个特解 . 再由 ，解得 ，代入(1.72)的第三式，得原方程的通解 例 5 求解方程 (1.73) 这里，假定 是二次可微函数. 解 (1.73)的参数形式为 (1.74） 由基本关系式 有