这已经是线性方程,它的解为、C水2.于是,原方程的解为 本节要点: 1.线性非齐次方程的解法本质是常数变易法,这种方法首先由拉格朗日提出,在常 微分方程的解法上占有重要地位 2.由常数变易法求得的通解表达式(1.38)或特解表达式(143)能帮助我们证明解 的某些渐近性质 3.伯努利方程实质上是一个可以通过变量替换化为线性方程的非线性方程. 作业: 练习14, l((3)A⑤S(72(2)(4)3 练习14 1.解下列方程: (3) (5)2-2y=2x(7)+ytx=89c团 2.解下列伯努利方程 (2) +2xy+xy=0(4)ldr y=y(cos x-sin x) 3.设函数2(对,(x在0+回上连续,且=a>0 f(x)≤b (a,b为常数) +p(x)y=f(x) 求证:方程 d 的一切解在 上有界 答案 1.(1)p=2+C (3)B=2+ (5)D=CX(7)y=C cos x+sin x 2.(2) (4)
这已经是线性方程，它的解为 .于是，原方程的解为 本节要点： 1．线性非齐次方程的解法本质是常数变易法，这种方法首先由拉格朗日提出，在常 微分方程的解法上占有重要地位． 2．由常数变易法求得的通解表达式（1.38）或特解表达式（1.43）能帮助我们证明解 的某些渐近性质． 3．伯努利方程实质上是一个可以通过变量替换化为线性方程的非线性方程． 作业： 练习 1.4, 1.(1),(3),(5),(7) 2.(2),(4) 3. 练习 1.4 1．解下列方程： （1） （3） （5） （7） 2．解下列伯努利方程 （2） （4） 3．设函数 ， 在 上连续，且 ， （a, b 为常数）． 求证： 方程 的一切解在 上有界． 答案： 1．（1） （3） (5） （7） 2．（2） ， (4）
3.(略) 1.5全微分方程及积分因子 15.1全微分方程 如果微分形式的一阶方程 M(xy)Ak+M(xy)小=0 1.10) 的左端恰好是一个二元函数团(xy)的全微分, 即 (146) 则称(1.10)是全微分方程或恰当方程,而函数称为微分式(146)的原函数 例如方程 (147) 就是一个全微分方程因为它的左端恰是二元函数的全微分 全微分方程如何求解呢?先看一下方程(47),由于它的左端是二元函数 的全 微分,从而方程可写成 =)(x是(147)的解,应有恒等式 从 由此解出 这说明,全微分方程(47任一解包含在表达式(148)中.一般地,有如下定理定理11 假如(x)是微分(146)的一个原函数,则全微分方程(110的通积分为 其中C为任意常数 证明先证(110)的任一解=y(对均满足方程(149)因为=y刘为(10)的解, 故有恒等式 M(x(x)k+xy(x)小(x)=0
3．（略） 1.5 全微分方程及积分因子 1.5.1 全微分方程 如果微分形式的一阶方程 （1.10） 的左端恰好是一个二元函数 的全微分， 即 (1.46) 则称(1.10)是全微分方程或恰当方程，而函数 称为微分式(1.46)的原函数. 例如方程 (1.47) 就是一个全微分方程.因为它的左端恰是二元函数 的全微分. 全微分方程如何求解呢? 先看一下方程(1.47),由于它的左端是二元函数 的全 微分，从而方程可写成 若 是(1.47)的解，应有恒等式 从而 （1.48） 由此解出 这说明，全微分方程(1.47)的任一解包含在表达式(1.48)中. 一般地，有如下定理 定理 1.1 假如 是微分(1.46)的一个原函数，则全微分方程(1.10)的通积分为 （１.49） 其中 C 为任意常数. 证明 先证(1.10)的任一解 均满足方程(1.49). 因为 为(1.10)的解， 故有恒等式
因为(x为(110的原函数,所以有 U(x,y(x)=0 从而 p(x,y(x)=C(C为一常数) 于是=yx满足(1.49 再证明(149)所确定的任意隐函数》)(均为(1.10)的解因为是由(149)所确定的 隐函数,所以存在常数C, 使 U(x,y(x))=C 将上式微分并应用(x》是146的原函数的性质, 即有 dU(x,y(x)=M(x, y(x)dx+ N(x, y(x)dy(x)=0 从而(x是方程10的解,定理证毕 根据上述定理,为了求解全微分方程(10,只须求出它的一个原函数(x》,就 可以得到它的通积分 下面介绍两种求原函数的方法 1求原函数的直接观察法 在某些简单情形下,可以由观察方程(1.10)直接求出它的一个原函数,从而得到它的 通积分这要求熟记一些常见的二元函数的全微分公式 例如 d(xy)=ydx+xdy d(arctan2)=y)-x中
因为 为(1.10)的原函数，所以有 从而 于是 满足(1.49). 再证明(1.49)所确定的任意隐函数 均为(1.10)的解.因为 是由(1.49)所确定的 隐函数，所以存在常数 C， 使 将上式微分并应用 是(1.46)的原函数的性质， 即有 从而 是方程(1.10)的解，定理证毕. 根据上述定理，为了求解全微分方程(1.10)，只须求出它的一个原函数 ，就 可以得到它的通积分 . 下面介绍两种求原函数的方法. 1.求原函数的直接观察法 在某些简单情形下，可以由观察方程(1.10)直接 求出它的一个原函数，从而得到它的 通积分.这要求熟记一些常见的二元函数的全微分公式. 例如
d(n(x+y))s2 xdx 例1求解方程 kx+(x+y)dx-(x-y)中= 解直接观察方程的左端,有 (x+y)dx-(x-y)dy dx ydy ydx- xdy d()+d(In(x2+y2))+d(arctan C) d[()+-In(x+y2)+arctan 从而方程的左端是一个全微分,原函数为 U(x,y)=4+In(x2+y2)+arctan 于是原方程的通积分即为 x2+-In(x+y2)+arctan =C 或 +In(x+y2)+2 arctan =C 2.求原函数的一般方法 定理12如果方程(10中的M(xx在矩形区域 上连续可微,则方程(1.10)是全微分方程的充要条件是:在R上有 (1.50) 证明必要性,设(10是全微分方程,则存在原函数(x》,使得
例 1 求解方程 解 直接观察方程的左端，有 从而方程的左端是一个全微分，原函数为 于是原方程的通积分即为 或 2．求原函数的一般方法. 定理 1.2 如果方程(1.10)中的 ， 在矩形区域 上连续可微，则方程(1.10)是全微分方程的充要条件是：在 R 上有 （1.50） 证明 必要性，设(1.10)是全微分方程，则存在原函数 ，使得
du(x, y)=M(x, y)dx +N(x, y)dy 所以 =M(x, y) 将以上二式分别对y和x求偏导数,得到 因为M,N连续可微,所以 成立,即(1.50)成立 充分性,设(150在区域R内成立,现在求一个二元函数(x》,使它满足 dU(x,y)=M(x, y)dx+N(x,y)dy M(x,y) 由第一个等式,应有 y)=M(x,y) 其中》为y的任意可微函数,为了似(x”,再满足 必须适当选取以,使满足 au a M(x, y)dx+op)=N(x,y) 由参变量积分的性质和条件(1.50),上式即为 参变量积分的分析性质 (u)=f(x, u)dx 参变量积分 (1);是参变量 若(x2及在矩形风≤x≤≤xs
所以 将以上二式分别对 y 和 x 求偏导数，得到 因为 M ，N 连续可微，所以 成立，即(1.50)成立. 充分性，设(1.50)在区域 R 内成立，现在求一个二元函数 ，使它满足 即 由第一个等式，应有 其中 为 y 的任意可微函数，为了使 ，再满足 必须适当选取 ，使满足 由参变量积分的性质和条件(1.50)，上式即为 参变量积分的分析性质: 参变量积分 （1）; 是参变量． 若 及 在矩形