1.解下列方程 (2 x′-y=(x+y)ln 2.解下列方程 (2x-4y+5)dx+(x+y-3)y= 答案 Sin-=Cx In 2(1 14一阶线性微分方程 本节讨论一阶线性方程的解法以及某些可以化成线性方程的类型 阶线性微分方程的形式是 p(x)y=f(x) (1.34) 如果(x)=,即 p(x)y=0 (135) 称为一阶线性齐次方程如果(不恒为零,则称(134)为一阶线性非齐次方程 141一阶线性非齐次方程的通解 先考虑线性齐次方程(1.35),注意这里“齐次”的含意与13节中的不同,这 里指的是在(134中不含“自由项(x),即(x)=Q显然,(135是
1．解下列方程 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2．解下列方程 (1) (2) 答案： 1.(1) (2) , (3) , (4) (5) (6) , 2.(1) , (2) 1.4 一阶线性微分方程 本节讨论一阶线性方程的解法以及某些可以化成线性方程的类型. 一阶线性微分方程的形式是 （1.34） 如果 ，即 (1.35) 称为一阶线性齐次方程.如果 不恒为零，则称(1.34)为一阶线性非齐次方程. 1.4.1 一阶线性非齐次方程的通解 先考虑线性齐次方程(1.35)，注意这里“齐次”的含意与 1.3 节中的不同，这 里指的是在(1.34)中不含“自由项” ，即 .显然，(1.35)是
个变量可分离方程,由12节易知它的通解是 下面使用常数变易法再求线性非齐次方程(1.34)的解其想法是:当C为常数时,函 数(1.36的导数,恰等于该函数乘上p(x)从而(1.36)为齐次方程(135)的解现在要求非 齐次方程(134的解,则需要该函数的导数还要有一项等于(x为此, 联系到乘积导数的公式,可将(1.36)中的常数C变易为函数C(x),即令 Ly=c(x)e /tayar (1.37) 为方程(134)舶解,其中((x)待定将(1.37)代入(1.34),有 Icl(\ - p(x)C(x)e +p(x)c(x)e JAtxyd*=f(x) 即C(x)=f(x)/x 积分后得 C()=S(x/mdx+c 把上式代入(1.37),得到(1.34)的通解公式为 y=Ce lptr +e lxh j /(ae ru d(38) 在求解具体方程时,不必记忆通解公式,只要按常数变易法的步骤来求解即可. 例1求解方程 解显然,这是一个一阶线性非齐次方程 先求对应齐次方程 x 的通解为 由常数变易法 为方程(139的解,代入(1.39)有 (x)x+C(x)=C(x)+x C(x)= 积分得
一个变量可分离方程，由 1.2 节易知它的通解是 (1.36) 下面使用常数变易法再求线性非齐次方程(1.34)的解.其想法是：当 C 为常数时，函 数(1.36)的导数，恰等于该函数乘上- p(x),从而(1.36)为齐次 方程(1.35)的解.现在要求非 齐次方程(1.34)的解，则需要该函数的导数还 要有一 项等于 .为此， 联系到乘积导数的公式，可将(1.36)中的常数 C 变易为 函数 C(x)，即令 (1.37) 为方程(1.34)的解，其中 C(x)待定.将(1.37)代入(1.34)，有 即 积分后得 把上式代入(1.37)，得到(1.34)的通解公式为 (1.38) 在求解具体方程时，不必记忆通解公式，只要按常数变易法的步骤来求解即可. 例 1 求解方程 (1.39) 解 显然，这是一个一阶线性非齐次方程. 先求对应齐次方程 的通解为 由常数变易法，令 为方程(1.39)的解，代入(1.39)有 即 积分得
代回后得原方程(1.39)的通解为 例2求解方程 解显然这也是一个一阶线性非齐次方程 先解对应齐次方程 分离变量后再积分有 scot xdx +hn /l 取指数后,得齐次通解 y=Csin x 由常数变易法,令 y=C(x)sin x 为非齐次方程(140的解,代入后得 C(x)sin x+C(x)cos x-C(x)cos x= 2 积分得 于是原方程(140)的通解为 仔细看一下非齐次方程(134)的通解公式(138),我们可以发现它由两项组成第 项是对应齐次方程的通解,第二项是非齐次方程的一个特解因此有如下的结论:线 性非齐次方程(1.34)的通解,等于它所对应的齐次方程(1.35)的通解与非齐次 方程(1.34)的一个特解之和 为了求解初值问题 p(xy=f(x
代回后得原方程(1.39)的通解为 例 2 求解方程 解 显然这也是一个一阶线性非齐次方程. 先解对应齐次方程 分离变量后再积分有 即 取指数后，得齐次通解 由常数变易法，令 为非齐次方程(1.40)的解，代入后得 即 积分得 于是原方程(1.40)的通解为 仔细看一下非齐次方程(1.34)的通解公式(1.38)，我们可以发现它由两项组成.第一 项是对应齐次方程的通解，第二项是非齐次方程的一个特解.因此有如下的结论：线 性非齐次方程(1.34)的通解，等于它所对应的齐次方程(1.35)的通解与非齐次 方程(1.34)的一个特解之和. 为了求解初值问题
常数变易法可采用定积分形式即(1.37)可取为 y=C(xe "trid (141) 代入(1.34)并化简,得 C(x)=f(x)e 积分得 C(x)= f(s)e ds+c 代入(141)得到 x()dt f(se 将初值条件又x0,y=川代入上式,有=y,于是所求初值问题解为 P(山dt (142) 或 y=oe f(s) (143) 例3设函数O在[0+)上连续且有界,试证明:方程 中+y= 的所有解均在[0+)上有界 证设=》(为方程的任一解,它满足初始值条件x)=∈0+可于是 由公式(1.43),它可以表示为 y(x)=%620)+J.J(s)ed 我们只要证(+Q上有界即可设 [0 于是对≤x<+有
常数变易法可采用定积分形式.即(1.37)可取为 （1.41） 代入(1.34)并化简，得 积分得 代入(1.41)得到 将初值条件 代入上式，有 ，于是所求初值问题解为 (1.42) 或 (1.43) 例 3 设函数 在 上连续且有界，试证明：方程 的所有解均在 上有界. 证 设 为方程的任一解，它满足初始值条件 ， 于是， 由公式(1.43)，它可以表示为 我们只要证 在 上有界即可.设 于是对 有
≤b3)+J(s)e) yo+ Me* yo+M(I-e x-") 原题得证 142伯努利 Bernoulli)方程 形如 +p(x)y=f(x)y2(n≠0,1) 的方程,称为伯努利方程 伯努利方程(44)是一种非线性的一阶微分方程,但是经过适当的变量变换之后,它 可以化成一阶线性方程 在(144)两端除以,得 b=+p(x)y=f( (145) 为了化成线性方程,令 =(1-)ydx代入(145)得 +p(x)z=f(x) 这样,就把(144化成以z为未知函数的线性方程了 例4求解方程 dx 2x 2) 解这是一个伯努利方程两端同乘以2y,得 令以=2,代入有
原题得证. 1.4.2 伯努利(Bernoulli)方程 形如 (1.44) 的方程，称为伯努利方程. 伯努利方程(1.44)是一种非线性的一阶微分方程，但是经过适当的变量变换之后，它 可以化成一阶线性方程. 在(1.44)两端除以 ，得 (1.45) 为了化成线性方程，令 则 代入(1.45)得 这样，就把(1.44)化成以 z 为未知函数的线性方程了. 例 4 求解方程 解 这是一个伯努利方程.两端同乘以 2y，得 令 ，代入有