u+x=u-2 易于看出,=为这方程的一个解,从而=0 为原方程的一个解 当≠0时,分离变量得, x.两端积分后得 =In x+C 或 将u换成x,并解出y,便得到原方程的通解 在一般情况下,如何判断方程(1.9)是齐次方程呢?这相当于考虑,什么样的二元函 数(x)能化成形状为x的函数下面我们说明零次齐次函数具有此性质 所谓(x)对于变元x和y是零次齐次式,是指对于任意≠的常数,有恒等式 J(o,v)=tf(x, y)=f(x,y) 因此,令太,则有 f(x)y)=f(12)=g(2 因此,所谓齐次方程,实际上就是方程(19)的右端函数x)是一个关于变元x y的零次齐次式 如果我们把齐次方程称为第一类可化为变量分离的方程,那么我们下面要介绍第二 类这种方程 13.2第二类可化为变量可分离的方程 形如 >J(马x ax+b,y+
即 易于看出， 为这方程的一个解，从而 为原方程的一个解. 当 时，分离变量得， ．两端积分后得 或 将 u 换成 ，并解出 y，便得到原方程的通解 在一般情况下，如何判断方程(1.9)是齐次方程呢? 这相当于考虑，什么样的二元函 数 能化成形状为 的函数.下面我们说明零次齐次函数具有此性质. 所谓 对于变元 x 和 y 是零次齐次式，是指对于任意 的常数，有恒等式 因此，令 ，则有 因此，所谓齐次方程，实际上就是方程(1.9)的右端函数 是一个关于变元 x， y 的零次齐次式. 如果我们把齐次方程称为第一类可化为变量分离的方程，那么我们下面要介绍第二 类这种方程. 1.3.2 第二类可化为变量可分离的方程 形如 (1.30)
的方程是第二类可化为变量可分离的方程其中,+≠0 显然,方程(1.30)的右端函数,对于x,y并不是零次齐次函数,然而函数 aax+b,y (1.31) 则为零次齐次函数事实上,我们有 a,x+b,y 下面我们将通过变量变换把(1.30)中的C1及C2消去,将方程(30)的右端函数化成(131) 的形式,从而把方程(1.30)化成齐次方程 x=占+,y=十月为待定常数) 则4444d4代入(130得 0=/(5+n+a0+b1B+1 da25+b21+a2+b2B+c2 选取 得 1+b1A 2+b2B (1.32)是一个线性非齐次方程组,它的解与系数行列式有关 如果 则(132)有唯一组解,把《A取为这组解,于是(130)就化成齐次方程 +b2 求出这个方程解,并用变换 代回,即可得(1.30的解 上面的作法其实就是解析几何中的坐标平移当△≠0时,直线
的方程是第二类可化为变量可分离的方程.其中， 显然，方程(1.30)的右端函数，对于 x，y 并不是零次齐次函数，然而函数 （1.31） 则为零次齐次函数.事实上，我们有 下面我们将通过变量变换把(1.30)中的C1及C2消去，将方程(1.30)的右端函数化成(1.31) 的形式，从而把方程(1.30)化成齐次方程. 令 ( 为待定常数) 则 代入(1.30)得 选取 使得 (1.32) (1.32)是一个线性非齐次方程组，它的解与系数行列式有关. 如果 则(1.32)有唯一组解，把 取为这组解，于是(1.30)就化成齐次方程 求出这个方程解，并用变换 代回，即可得(1.30)的解. 上面的作法其实就是解析几何中的坐标平移.当 时，直线
与直线 a2x+b,y+c2 相交于一点,将二式联立求得交点,再作坐标平移,就把原点移到国)又由 于在坐标平移变换=十以y=+国下有成立,这样130)就变成齐次方程 了 如果△=0,则(1.32)没有唯一组解,上述方法不可行,下面我们要说明,此时方程 (1.30)也可化为变量可分离方程求解 实际上由△=0,有 a2b 成立下面仅以2,来讨论,(以讨论相同) =b2=0,此时130)为 则得到关于z的变量可分离方程 + 2)22中至多有一个为零 4=0.b=0时,由(132有=0 方程(1.30)成为 dx"(1t+ a,xtc 这是一个变量可分离方程 =的和时,由(1332必有=0 方程(1.30)成为 中_hy+c1
与直线 相交于一点，将二式联立求得交点( )，再作坐标平移，就把原点移到( ).又由 于在坐标平移变换 下有 成立，这样(1.30)就变成齐次方程 了. 如果 ，则(1.32)没有唯一组解，上述方法不可行，下面我们要说明，此时方程 (1.30)也可化为变量可分离方程求解. 实际上由 ，有 成立.下面仅以 来讨论，(以 讨论相同). 1) ，此时(1.30)为 令 ，则得到关于 z 的变量可分离方程 2) 中至多有一个为零. 当 时，由(1.33)必有 ，方程(1.30)成为 这是一个变量可分离方程. 当 时，由(1.33)必有 ，方程(1.30)成为
这也是一个变量可分离方程 寸,由(1.33)有 于是x+y=(2x+b,原方程(130)成为 dy i(a2x+b3y)+ anx+b,y+ 令 则 代入上面方程,得到一个关于z的方程 a2+b2f( z+ 这也是一个变量可分离方程 例2求解方程 解因为 方程组 +8-3=0 有解 令 代入原方程,得到新方程 ,代入上式,又得到新方程
这也是一个变量可分离方程. 3) 当 且 时，由(1.33)有 于是 ，原方程(1.30)成为 令 则 代入上面方程，得到一个关于 z 的方程 这也是一个变量可分离方程. 例 2 求解方程 解 因为 方程组 有解 令 代入原方程，得到新方程 令 ，代入上式，又得到新方程
4+ 2-1≠0时,整理得 积分得 p2+2-1=-lk+2a y-4代回,即得原方程的通积分 2-1=0时,解得=-1土√2,还原后又得到原方程的两个解 本节要点 阶显式方程 是齐次方程右端函数(x)是一个零次齐次函 2.齐次方程解法的本质是,方程 g (1.27) 通过变量替换x化为变量可分离方程求解. 3.方程(1.30)的解法是齐次方程解法的扩展,把一个不是齐次方程的方程,选通 过变量替换化成齐次方程,再按齐次方程求解. 作业: 练习1.3 1.:2。(1),(3)
当 时，整理得 积分得 即 或 以 , 代回，即得原方程的通积分 当 时，解得 ，还原后又得到原方程的两个解 和 本节要点： 1．一阶显式方程 是齐次方程 右端函数 是一个零次齐次函 数． 2．齐次方程解法的本质是，方程 （1.27） 通过变量替换 化为变量可分离方程求解． 3．方程（1.30）的解法是齐次方程解法的扩展，把一个不是齐次方程的方程，选通 过变量替换化成齐次方程，再按齐次方程求解． 作业： 练习 1.3 1.；2. (1), (3)