解出y,得到通解 D=sin(arcsin x+ 另外,方程还有常数解y=士],它们不包含在上述通解中 例3求方程 的满足初始条件(0)=及yO)=的解 解当时,方程通积分为 1-J +1x+c 因此 解出通解为 为求满足初始条件《的解,以y0)=0代入上解,应有 可解得C=一代入通解,即得满足0)=的解
解出 y，得到通解 另外，方程还有常数解 ，它们不包含在上述通解中. 例 3 求方程 的满足初始条件 及 的解. 解 当 时，方程通积分为 即 因此 解出通解为 为求满足初始条件 的解，以 代入上解，应有 可解得 .代入通解，即得满足 的解
另外,易知》= 为方程的解解y(0)=显然满足初始条件0)=1,故它是所 求的第二个解 另外,通解公式还能帮助我们得到积分曲线族的图象。例如,在例3的通解中,当 C为负数时,通解所对应的积分曲线位于带形区域1<y<之中;而当C为正数时, 它确定了两条积分曲线,其中一条定义于的《<它位于半平面》>上;另 条定义于删1C《x<,它位于半平面y<1上图12描绘了所给方程的积分曲线 的分布状况 =0.2 C=02 图1-2 12.2微分形式变量可分离方程的解法 方程 M1(x)N1()dx=M2(x)N2()dy 是变量可分离方程的微分形式表达式这时,x和y在方程中的地位是“平等”的, 即x与y都可以被认为是自变量或函数 在求常数解时,若)=0,则为方程(19的解同样,若()= 则三也是方程(19的解 (o)M(x)≠0时,用它除方程(1两端,分离变量,得 N2(y),M1(x) 上式两端同时积分,得到方程(1.19)的通积分 dx+Cl M1()
另外，易知 为方程的解. 解 显然满足初始条件 ，故它是所 求的第二个解. 另外，通解公式还能帮助我们得到积分曲线族的图象。例如，在例 3 的通解中，当 C 为负数时，通解所对应的积分曲线位于带形区域 之中；而当 C 为正数时， 它确定了两条积分曲线，其中一条定义于 ,它位于半平面 上；另一 条 定义于 ，它位于半平面 上.图 1-2 描绘了所给方程的积分曲线 的分布状况. 图 1-2 1.2.2 微分形式变量可分离方程的解法 方程 是变量可分离方程的微分形式表达式.这时，x 和 y 在方程中的地位是“平等”的， 即 x 与 y 都可以被认为是自变量或函数. 在求常数解时，若 ，则 为方程(1.19)的解.同样，若 ， 则 也是方程(1.19)的解. 当 时，用它除方程(1.19)两端，分离变量，得 上式两端同时积分，得到方程(1.19)的通积分
例4求解方程 x(y2-1dx+y(x2-1)dy=0 解首先,易见》=士,郾坦为方程的解其次,当x0-1≠时,分 离变量得 dy 积分,得方程的通积分 或 本节要点: 1.变量可分离方程的特征 2.分离变量法的原理:微分方程(1.18)与分离变量后的积分方程(1.26) 当O)≠时是同解方程 3.变量可分离方程一定存在常数解》=并且满足区0)≠ 作业 练习1.2 1.指出下列方程的阶数,是否是线性方程: (1) ()d=yIn (3) (4)tan ydr-cot xdy=0 2.求下列初值问题解 (1)Ly0)=1 (2)Ly(=1 -y cos x ("+2*)dx-(x"+yx)dy= (3) 0)=1 (4)(0)=-1 答案
例 4 求解方程 解 首先，易见 ， 为方程的解.其次，当 时，分 离变量得 积分，得方程的通积分 或 本节要点： 1．变量可分离方程的特征． 2．分离变量法的原理：微分方程（1.18）与分离变量后的积分方程（1.26） 当 时是同解方程． 3．变量可分离方程一定存在常数解 , 并且满足 ． 作业： 练习 1.2 1．指出下列方程的阶数，是否是线性方程： （1） （2） （3） （4） 2．求下列初值问题解： （1） （2） （3） （4） 答案
=x2+C (2) =ce I y cosx=C 2. 1) 第3讲齐次微分方程 1.什么是齐次方程? 上一节,介绍了变量可分离方程的解法有些方程,它们形式上虽然不是变量可分 离方程,但是经过变量变换之后,就能化成变量可分离方程,本节介绍两类可化为变 量可分离的方程.如果一阶显式方程 dy (1.9) 的右端函数f(x,y)可以改写为y的函数g(2),那么称方程(19)一阶齐次微分方程 例如,方程 x2 +v sIn y x十 S (x+y)dx+xydy=0,2=Inx-In dx 可以分别改写成 2) yI 所以它们都是一阶齐次方程.因此,一阶齐次微分方程可以写为 g( (1.27) 13.1齐次方程的解法
1. (1) (2) (3) (4) 2. (1) (2) (3) (4) 第 3 讲 齐次微分方程 1．什么是齐次方程？ 上一节，介绍了变量可分离方程的解法.有些方程，它们形式上虽然不是变量可分 离方程，但是经过变量变换之后，就能化成变量可分离方程，本节介绍两类可化为变 量可分离的方程. 如果一阶显式方程 ( , ) dy f x y dx = （1.9） 的右端函数 f x y ( , ) 可以改写为 y x 的函数 ( ) y g x ，那么称方程(1.9)为一阶齐次微分方程. 例如，方程 2 2 2 2 sin , cos y x y dy x y dy x dx x y dx y x y x + + = = − − 2 2 ( ) 0 x y dx xydy + + = ， ln ln dy x y dx = − 可以分别改写成 所以它们都是一阶齐次方程．因此，一阶齐次微分方程可以写为 (1.27) 1.3.1 齐次方程的解法
方程(127)的特点是它的右端是一个以x为变元的函数,经过如下的变量变换,它 能化为变量可分离方程 则有 代入方程(127)得 du g(u)-u (1.28) 方程(1.28)是一个变量可分离方程,当时,分离变量并积分,得到它的通积分 g(x)- (129) (a) 其中 g(x)- 以x代入,得到原方程(127)的通积分 若存在常数,使8∞0)-0=0,则=叫0,是(128)的解,=y 得 是 原方程(1.27)的解 例1求解方程 解将方程化成 代入上式得
方程(1.27)的特点是它的右端是一个以 为变元的函数，经过如下的变量变换，它 能化为变量可分离方程. 令 则有 代入方程(1.27)得 （1.28） 方程(1.28)是一个 变量可分离方程，当 时，分离变量并积分，得到它的通积分 （1.29） 或 即 其中 以 代入，得到原方程(1.27)的通积分 若存在常数 ，使 ，则 ，是(1.28)的解，由 ，得 是 原方程(1.27)的解. 例 1 求解方程 解 将方程化成 令 代入上式得