代入通解中,得到方程 从中解出C,设 代入通解,即得满足初值条件的觚y=x 对于n阶方程,若已求出通解 后,代入初值条件(115), 得到n个方程式 pro, Cl,C, yo=(x0,C1,C2…,C2) (x-1)(x-41)(x 如果能从17)式中确定出回,代回通解,即得所求初值问题的 例2求方程 +x 的满足初值条件 的解 解方程通解为 x=C sin t+Ca cost 求导数后得 将初值条件代入,得到方程组 解出和得 故所求特解为
代入通解中，得到方程 从中解出 C，设为 ，代入通解，即得满足初值条件的解 . 对于 n 阶方程，若已求出通解 后，代入初值条件(1.15)， 得到 n 个方程式 (1.17) 如果能从(1.17)式中确定出 ，代回通解，即得所求初值问题的 . 例 2 求方程 的满足初值条件 的解. 解 方程通解为 求导数后得 将初值条件代入，得到方程组 解出 和 得 故所求特解为
积分曲线 为了便于研究方程解的性质,我们常常考虑解的图象.一阶方程(19)的一个特解 y=以的图象是x平面上的一条曲线,称为方程(19)的积分曲线,而通解 y=以玩的图象是平面上的一族曲线,称为积分曲线族例如,方程(4)的通解y= C是xoy平面上的族抛物曲线而》=是过点,.0的一条积分曲线以后,为了叙 述简便,我们对解和积分曲线这两个名词一般不加以区别对于二阶和二阶以上的方程 也有积分曲线和积分曲线族的概念,只不过此时积分曲线所在的空间维数不同,我们将 在第4章详细讨论 最后,我们要指出,本书中按习惯用 y,y分别代表” 分别代表d 本本节要点: 1.常微分程的定义,方程的阶,隐式方程,显式方程,线性方程,非线性方程 2.常微分方程解的定义,通解,特解,通积分,特积分. 3.初值问题及初值问题解的求法 4.解的几何意义,积分曲线 作业: 练习1.1 指出下列方程的阶数,是否是线性方程 x+xsin y (dx )3 (4) x+2x+x (5) 6) 2.验证给出函数是否为相应方程的解 (C为任意常数) (2)【x+)x冲叫,∥2-x (C为任意常数)
积分曲线 为了便于研究方程解的性质，我们常常考虑解的图象.一阶方程(1.9)的一个特解 的图象是 xoy 平面上的一条曲线，称为方程(1.9)的积分曲线，而通解 的图象是平面上的一族曲线，称为积分曲线族.例如，方程(1.4)的通解 +C 是 xoy 平面上的一族抛物曲线.而 是过点(0，0)的一条积分曲线.以后，为了叙 述简便，我们对解和积分曲线这两个名词一般不加以区别.对于二阶和二阶以上的方程， 也有积分曲线和积分曲线族的概念，只不过此时积分曲线所在的空间维数不同，我们将 在第 4 章详细讨论. 最后，我们要指出，本书中按习惯用 分别代表 ， 而 分别代表 本 本节要点： 1．常微分程的定义，方程的阶，隐式方程，显式方程，线性方程，非线性方程. 2．常微分方程解的定义，通解，特解，通积分，特积分. 3．初值问题及初值问题解的求法. 4．解的几何意义，积分曲线. 作业： 练习 1.1 1, 2. 1．指出下列方程的阶数，是否是线性方程： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 2．验证给出函数是否为相应方程的解 （1） ， ，（C 为任意常数） （2） ， ，（C 为任意常数）
y (3) 答案 1.(1)一阶,非线性(2)一阶,非线性 (3)四阶,线性 (4)三阶,非线性 (5)二阶,非线性(6)一阶,非线性 2.(1)是(2)是(3)不是(4)是 什么是1.什第2讲变量可分离方程方程?1.什么是变量可分离方程?1.什 么是21.什么是变量可分高方程? 什形如 f(xg(y (1.18) 或 1.19) 的方程,称为变量可分离方程我们分别称(18)(119为显式变量可分离方程和微 分形式变量可分离方程 方程(118)的特点是,方程右端函数是两个因式的乘积,其中一个因式是只含x 的函数,另一个因式是只含y的函数.而方程(119)是(118)的微分形式例如,方 程 dx ,dkx+x2e”dy=q 都是变量可分离方程.而方程 d (x+y)dx+(x2+e”)y=0
（3） ， （4） ， 答案： 1．（1）一阶，非线性 （2）一阶，非线性 （3）四阶，线性 （4）三阶，非线性 （5）二阶，非线性 （6）一阶，非线性 ２．（1）是 （2）是 （3）不是 （4）是 什么是 1．什第 2 讲 变量可分离方程方程？1．什么是变量可分离方程？1．什 么是 21．什么是变量可分离方程？ 什形如 1． （1.18） 或 （1.19） 的方程，称为变量可分离方程.我们分别称(1.18)、(1.19)为显式变量可分离方程和微 分形式变量可分离方程． 方程(1.18)的特点是，方程右端函数是两个因式的乘积，其中一个因式是只含 x 的函数，另一个因式是只含 y 的函数．而方程(1.19)是(1.18)的微分形式．例如，方 程 都是变量可分离方程．而方程
都不是变量可分离方程 12.1显式变量可分离方程的解法 1.在方程(1.18)中,假设g是常数,不妨设gOy=1此时方程(1.18)变为 f(x) 设f在区间(ab)上连续,那么,求方程(120解就成为求fx)的原函数不定积分) 的问题于是由积分上限所确定的函数 (121) 就是方程(1.21)的通解,其中C是一个任意常数 是一个固定数 x∈(a是自变量 2假设g(0)不是常数,仍设/在区间ab上连续,而g0在区间上连续 若=是方程(18的任意一个解,且满足X)=,则由解的定义,有恒 等式 f(x)g(y(x)x∈(a,b 假设g():0,于是可用分离变量法把方程写成 ≡f(x)dxx∈(a,b) gO(x) (1.23) 将上式两端积分,得到恒等式 =f(x)dxx∈(a,b) (1.24) 上面的恒等式表明,当g0yA0时,方程(11)的任意一个解》=必定满足下面 的隐函数方程 f(x)dx (1.25) 反之,若V=)(刘是隐函数方程(125)的解,则有恒等式(124)成立,由(1.24)的两 边对x求导数,就推出(1.23)成立,从而(12)成立,这就表明了隐函数方程(125)的解 也是微分方程(1.18)的解
都不是变量可分离方程 1.2.1 显式变量可分离方程的解法. 1. 在方程(1.18)中，假设 g(y)是常数，不妨设 g(y)=1.此时方程(1.18)变为 (1.20) 设 f(x)在区间(a,b)上连续，那么，求方程(1.20)的解就成为求 f(x)的原函数(不定积分) 的问题.于是由积分上限所确定的函数 (1.21) 就是方程(1.21)的通解，其中 C 是一个任意常数， 是一个固定数， 是自变量. 2.假设 g(y)不是常数，仍设 f(x)在区间(a,b)上连续，而 g(y)在区间 上连续. 若 是方程(1.18)的任意一个解，且满足 ，则由解的定义，有恒 等式 (1.22) 假设 g(y)≠0，于是可用分离变量法把方程写成 (1.23) 将上式两端积分，得到恒等式 (1.24) 上面的恒等式表明，当 g(y)≠0 时，方程(1.18)的任意一个解 必定满足下面 的隐函数方程 (1.25) 反之，若 是隐函数方程(1.25)的解，则有恒等式(1.24)成立，由(1.24)的两 边对 x 求导数，就推出(1.23)成立，从而(1.22)成立，这就表明了隐函数方程(1.25)的解 也是微分方程(1.18)的解
在具体求解方程时,往往把(124)写成不定积分形式 g(y)J(x)dx+C (1.26) 由上面的证明可知,当gν)A0时,微分方程(1.18)与隐函数方程(126)是同解方程,即 若由(1.26)解出 则它是(8)的通解,由于(1.26)是通解的隐式表达式,所 以(1.26)亦称为方程(1.18)的通积分在求解过程中,对于通积分(126)应该尽量把它演算 到底,即用初等函数表达出来,但是,并不勉强从其中求出解的显式表达式如果积分不 能用初等函数表达出来,此时我们也认为微分方程(1.18)已经解出来了,因为从微分方 程求解的意义上讲,留下的是一个积分问题,而不是一个方程问题了 3.若存在,使 则易见是方程(1.18)的一个解,这样的解称为 常数解 例1求解方程 解当时,分离变量,方程化为 y 两端积分,即得通积分 npl=In(x+C 或 by= In/Cx (≠0) 解出,得方程通解 另外, 也是方程的解所以在通解 中,任意常数C可以取零 例2求解方程 解 时,方程的通积分为
在具体求解方程时，往往把(1.24)写成不定积分形式 (1.26) 由上面的证明可知，当 g(y)≠0 时，微分方程(1.18)与隐函数方程(1.26)是同解方程，即 若由(1.26)解出 ，则它是(1.18)的通解，由于(1.26)是通解的隐式表达式，所 以(1.26)亦称为方程(1.18)的通积分.在求解过程中，对于通积分(1.26)应该尽量把它演算 到底，即用初等函数表达出来，但是，并不勉强从其中求出解的显式表达式.如果积分不 能用初等函数表达出来，此时我们也认为微分方程(1.18)已经解出来了，因为从微分方 程求解的意义上讲，留下的是一个积分问题，而不是一个方程问题了. 3. 若存在 ，使 ，则易见 是方程(1.18)的一个解，这样的解称为 常数解. 例 1 求解方程 解 当 时，分离变量，方程化为 两端积分，即得通积分 或 解出 ，得方程通解 另外， 也是方程的解.所以在通解 中，任意常数 C 可以取零. 例 2 求解方程 解 当 时，方程的通积分为 即