隐丞数与参量区数微分法 一、隐函数的导数 定义：由方程所确定的函数y=y(x)称为隐函数. y=f(x)形式称为显函数. F(x,y)=0→y=f(x) 隐函数的显化 问题：隐函数不易显化或不能显化如何求导？ 隐函数求导法则： 用复合函数求导法则直接对方程两边求导
隐函数与参量函数微分法 一、隐函数的导数 定义: 由方程所确定的函数 y = y(x)称为隐函数. y = f (x) 形式称为显函数. F(x, y) = 0 y = f (x) 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导
设F(x,y)=0确定了一元隐函数y=y(x) 将y=y(x)代入F(x,y)=0得W=F[x,y(x)川=0 则=0 dx 两边对x求导，当遇到y的函数fy)时 要求的是 f 】记z=fy) dx z→y→x dk dz dy → =f'(0) dx dy dx dx
设F(x, y) = 0确定了一元隐函数 y = y(x) 将 y = y(x)代入F(x, y) = 0得 u = F[x, y(x)] 0 = 0 dx du 则 两边对 x 求导，当遇到 y 的函数 f(y)时 [ f ( y)] dx d 要求的是 记 z = f ( y) z → y → x dx dy dy dz dx dz = dx dy = f ( y)
将求出的这些导数代入血=0 dy dx 得到关于 的代数方程， 解得 =x)即为所求 至于隐函数求二阶导数，与上同理 在少=g(x,)两边再对x求导 dx → 空=C)丙将盘=f代入
将求出的这些导数代入 = 0 dx du 得到关于 dx dy 的代数方程， 解得 g(x, y)即为所求 dx dy = 至于隐函数求二阶导数，与上同理 在 g x y 两边再对 x求导 dx dy = ( , ) ( , , ) 2 2 G x y y dx d y = 再将 g(x, y)代入 dx dy =
例1求由方程y-e*+e'=0所确定的隐函数 的导数少少 d’d 0. 解方程两边对x求导， -e*+e=0 y dx x 解得 dyex-y dx xter' 由原方程知x=0,y=0, -y x=0 t+ex=01. y=0
例1 , . 0 =0 − + = x x y dx dy dx dy y xy e e 的导数 求由方程 所确定的隐函数 解 方程两边对 x求导, + − + = 0 dx dy e e dx dy y x x y 解得 , y x x e e y dx dy + − = 由原方程知 x = 0, y = 0, 0 0 0 = = = + − = y y x x x x e e y dx dy = 1
例2设曲线C的方程为x3+y3=3y,求过C上 点的切线方程并证明曲线C在该点的法 线通过原点。 解方程两边对x求导，3x2+3y2y'=3y+3y :.y =y-x2 =-1. y2-x 所求切线方程为一=-化-多 即x+y-3=0. 3 法线方程为y- 2 2 即y=x, 显然通过原点
例2 . ) , 2 3 , 2 3 ( 3 , 3 3 线通过原点 点 的切线方程 并证明曲线 在该点的法 设曲线 的方程为 求 过 上 C C x + y = xy C 解 方程两边对 x求导, 3x + 3 y y = 3 y + 3xy 2 2 ) 2 3 , 2 3 ( 2 2 ) 2 3 , 2 3 ( y x y x y − − = = −1. 所求切线方程为 ) 2 3 ( 2 3 y − = − x − 即 x + y − 3 = 0. 2 3 2 3 法线方程为 y − = x − 即 y = x, 显然通过原点