第八节函数的连续性与间断点 函数连续性的定义 函数的间断点
第八节 函数的连续性与间断点 二、 函数的间断点 一、 函数连续性的定义
函数连续性的定义 定义：设函数y=f(x)在x。的某邻域内有定义，且 1imf(x)=f(x,),则称函数f(x)在x,连续 x→x0 可见，函数(x)在点x,连续必须具备下列条件 (1)f(x)在点o有定义，即f(xo)存在； (2) 极限limf(x)存在； x→X0 lim f(x)=f(xo) x→x0
一、 函数连续性的定义 可见 , 函数 在点 0 x 定义: 在 的某邻域内有定义 , 则称函数 ( ) . f x 在x0 连续 (1) 在点 即 (2) 极限 (3) 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 , 存在 ;
若f(x)在某区间上每一点都连续，则称它在该区间上 连续，或称它为该区间上的连续函数 在闭区间[a,b]上的连续函数的集合记作C[a,b] 例如，P(x)=a0+ax++anx” (有理整函数) 在(-0，+0)上连续 又如，有理分式函数R() P(x) (x) 在其定义域内连续 只要Q(x)≠0，都有1imR(x)=R(xo)》 X今X0
continue ( , ), lim ( ) ( ) 0 0 0 x P x P x x x − + = → 若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . C[a, b]. 例如, 在 上连续 . ( 有理整函数 ) 又如, 有理分式函数 在其定义域内连续. 在闭区间 上的连续函数的集合记作 只要 ( ) 0, Q x0 都有 lim ( ) ( ) 0 0 R x R x x x = →
对自变量的增量Ax=x-0,有函数的增量 △y=f(x)-f(xo)=f(xo+△x)-f(xo)》 函数f(x)在点xO连续有下列等价命题 f)=/)—fo+A)=f】 x→x0 lim△y=0 ↑yy=f(x) △x-→0 △y 三f(x0)=f(xo)=f(x) △x 左连续 右连续 Xx V>0,38>0,当x-x=Ax<8时，有 f(x)-f(x)=△y<6
对自变量的增量 有函数的增量 y = f (x) o x y 0 x x x y lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → lim ( ) ( ) 0 0 0 f x x f x x + = → lim 0 0 = → y x ( ) ( ) ( ) 0 0 0 − + f x = f x = f x 左连续 右连续 0, 0, 当 x − x0 = x 时, 有 f (x) − f (x ) = y 0 函数 在点 连续有下列等价命题:
二、 函数的间断点 设f(x)在点x,的某去心邻域内有定义，则下列情形 之一函数f(x)在点x,不连续 (1)函数f(x)在x无定义， (2)函数f(x)在x,虽有定义，但1imf(x)不存在 x->Xo (3)函数f(x)在x,虽有定义，且1mf(x)存在，但 x→X0 limf(x)≠f(xo) x-→x0 这样的点x。称为间断点
在 二、 函数的间断点 在 在 (1) 函数 (2) 函数 不存在; (3) 函数 存在 , 但 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x → 不连续 : 设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 这样的点 之一函数 f (x) 在点 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 称为间断点 . 无定义 ;