第五节极限运算法则 一、无穷小运算法则 二、 极限的四则运算法则 三、复合函数的极限运算法则
第五节 极限运算法则 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则 一 、无穷小运算法则
一、无穷小运算法则 定理1.有限个无穷小的和还是无穷小 证：考虑两个无穷小的和.设1im心=0,1im阝=0， x->Xo x-→X0 e>0,381>0,当0<x-xo<6时，有<号 382>0,当0<x-xo<62时，有B<号 取δ=min{81,δ2}，则当0<x-xo<8时，有 |a+Bsa+B<号+号=e 因此 1im(a+)=0.这说明当x→x时，a+B为无穷小量 x→x0 类似可证：有限个无穷小之和仍为无穷小
一、 无穷小运算法则 = min 1 , 2 , 时, 有 定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设 0, 当 时 , 有 当 时 , 有 取 则当 0 x − x0 + + 2 2 + = 因此 这说明当 时, 为无穷小量 . 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小
定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证：设Vx∈U(x,61),u≤M 又设lima=0,即Ve>0,362>0,当x∈U(xo,δ2) x-今x0 时，有a≤取6=min{δ，2}为 则当x∈U(x,6)时，就有uc=ua≤M·=s 故1imua=0,即uc是x→xo时的无穷小 x→X0 推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证: 设 u M 又设 lim 0, 0 = → x x 即 0, 当 时, 有 M 取 min , , = 1 2 则当 ( , ) x x0 时 , 就有 u = u = M M 故 即 是 时的无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小
例1、 求 lim sinx x>0 sinx 解：：sinx31 1im1=0 X→0X sinx 利用定理2可知lim 0 x>00 说明：y=0是y=sn sinx 的渐近线
例1、 求 解: 0 1 lim = x→ x 利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是 的渐近线 . x x y sin =
二 极限的四侧则运算法则 定理3、若1imf(x)=A,1img(x)=B,则有 1、lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B 2、1imLf(x)g(x】=limf(x)1img(x)=AB 3、 lim)=lim/(x) A 8(x) limg(x)
二、 极限的四则运算法则 定理 3 、若 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 1、 2、 3