第十节闭区间上连续函数的性质 有界性与最大值最小值定理 二、 零点定理与介值定理 三、一致连续性*
第十节 闭区间上连续函数的性质 一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理 三、一致连续性*
一、有界性与最大值最小值定理 定理1.在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界目 定能取得它的值和最小值 即：设f(x)∈C[a,b],则3气，52∈[a,b],使 f(s)=min f(x) a≤x≤b yy=f(x) f(2)=max f(x) a≤x≤b 0a5152bX 注意：若函数在开区间上连续，或在闭区间内有间断 点，结论不一定成立
一、有界性与最大值最小值定理 注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 定理1.在闭区间上连续的函数 即: 设 则 使 一定能取得它的值和最小值. 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有界且 点
例如、 -x+1,0≤x<1 1,x=1 也无最大值和最小值
例如、 也无最大值和最小值
二、零点定理与介值定理 定理2.（零点定理）f(x)∈C[a,b], y=f(x) 且f(a)f(b)<0至少有一点 5∈(a,b),使f(5)=0.(证明略) 定理3.（介值定理)设f(x)∈C[a,b],且f(a)=A, f(b)=B,A≠B,则对A与B之间的任一数C,至少有 一点5∈(a,b),使f(5)=C
二、零点定理与介值定理 定理2. ( 零点定理 ) 且 至少有一点 使 ( 证明略 ) 定理3. ( 介值定理 ) 设 且 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 一点 使 至少有
证： y1 y=f(x) 作辅助函数 (x)=f(x)-C 则p(x)∈C[a,b1,且 p(a(b)=(A-C)(B-C)<0 故由零点定理知，至少有一点5∈(a,b),使p(5)=0, 即 f(5)=C 推论：在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最 大值之间的任何值
证: 作辅助函数 则 且 故由零点定理知, 至少有一点 使 即 推论: 在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最 大值之间的任何值