第二节数列的极限 一、数列极限的定义 二、收敛数列的性质
第二节 数列的极限 二 、收敛数列的性质 一、数列极限的定义
一、数列极限的定义 定义：自变量取正整数的函数称为数列，记作xn=f(n) 或{xn}.x,称为通项（一般项） 设{xn}为一数列如果存在常数a有下列关系： Vs>0,3正数N,当n>N时，总有xn-a<6 则称该数列{xn}的极限为a,记作 lim=a或xn→a(n>o) n->o0 此时也称数列收敛，否则称数列发散
一 、数列极限的定义 定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作 或 称为通项(一般项) . 设 为一数列 如果存在常数 a 有下列关系 : 当 n > N 时, 总有 记作 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . x a n n = → lim 或 x → a (n → ) n 则称该数列 的极限为 a
几何解释 a-g xw a xN2 ate a-8<xn<a+8 (n>N) 即 xm∈U(a,e)(n>N) 例如， 123 23’41 收敛数列 2,4,8,.,2n,.xn=2-→o0(n→∞） 发散数列
a − x a + n (n N ) 即 x (a, ) n (n N ) 几何解释 : 例如, , 1 , , 4 3 , 3 2 , 2 1 n + n +1 = n n xn →1 (n →) a − a + ( ) N+1 x N+2 x 2 , 4 , 8 , , 2 n , n n x = 2 → (n →) 收敛数列 发散数列
例1、已知xn (-1)” 证明1imxn=0. (n+1)2 n→o0 证：xn-0= Ve∈(0,1)，欲使xn-0<6,只要 n+1 <6,即n> 9 取V=令-，则当n>N时，就有，-0<6， 故limx=lim 0 n-→00 n-→∞(n+1)2 也可由x-0=a4 说明：N与ε有关，但不唯一 取 N=[-1] 不一定取最小的N
已知 证明 证: xn − 0 = 2 ( 1) 1 + = n 1 1 + n (0,1), 欲使 只要 , 1 1 n + 即 n 取 1], 1 = [ − N 则当 n N 时, 就有 − 0 , n x 故 0 ( 1) ( 1) lim lim 2 = + − = → → n x n n n n 也可由 2 ( 1) 1 0 + − = n n x 1. 1 − N 与 有关, 但不唯一. 不一定取最小的 N . 说明: 取 例1
例2、设9<1，证明等比数列1,9，g2,.,q1, 的极限为0. 证：x,-0=g”1-0=91 V8∈(0,1)，欲使xm-0k6,只要q”1<&,即 (n-1)nq<1ns,亦即n>1+ Ing In al 因t取N-当N脱，有 q-0<8 故 lim g"1 =0 1n-→0
设 q 1, 证明等比数列 证: − 0 n x 欲使 只要 即 亦即 因此 , 取 + = q N ln ln 1 , 则当 n > N 时, 就有 − − 0 n 1 q 故 lim 0 1 = − → n n q . ln ln 1 q n + 的极限为 0 . 例2