第六节极限存在准则 两个重要极限 一、极限存在准则 二、两个重要极限
第六节 极限存在准则 两个重要极限 二、 两个重要极限 一、极限存在准则
极限存在准则 (一)夹逼准则 1、(1)yn≤xn≤2n(n=1,2,.) lim n a (2)lim yn lim 2n a n->oo n→od n→0 证：由条件(2)，V8>0,3N1,N2 当n>N1时，|yn-a<e当n>N2时，n-a<8 令N=max{N1,N2},则当n>N时，有 a-8<yn<a+8,a-8<2n<a+8, 由条件(1)》 a-8<yn≤xn≤n<a+ 即xn-a<e,故limn=a. n→o0
一、极限存在准则 y zn a n n n = = → → (2) lim lim （一） 夹逼准则 (1) y x z ( n =1, 2, ) n n n xn a n = → lim 证:由条件 (2) , 0, , N1 当 时, 当 时, 令 max , , N = N1 N2 则当 n N 时, 有 由条件 (1) n n n a − y x z a + 即 x − a , n 故 lim x a . n n = → , N2 1
2、 如果(1)当x∈(x,r(或|x>M)时 g(x)≤f(x)≤h(x) (2)lim g(x)=A,lim h(x)=A, 湖 岛 那么limf(x)存在，且等于A。 x→X0 (x→0)
2、 (1)当x(x0 ,r)(或| x | M)时 g(x) f (x) h(x) 如果 lim g(x) A, lim h(x) A, 0 0 x x x x = = → → (x → ) （2） (x → ) lim f (x) 0 x→x (x → ) 那么 存在，且等于A
例、证明1imn 1 n-→o0 证：利用夹逼准则.由 n 1 n n n2+na n2+元 且 lim 1 n-→on+nπ n→01十 n n 1 lim lim- = n→on+π n→o1+ n lim n n-→>0 n+nm
例、证明 证: 利用夹逼准则 . + + + + + n + n n n n 2 2 2 1 2 1 1 + 2 2 n n 且 → + 2 2 lim n n n 2 1 1 lim n n + = → =1 n n→ lim + + + + + n + n n n 2 2 2 1 2 1 1 =1 由
二、 单调有界数列必有极限 为≤x2≤.≤xn≤xn+l≤.≤M =limx=a(≤M) n->oo 单调增加 X1 X2 M 为≥X2≥.≥xn≥xn+1≥.≥m >limx=b(≥m） 000 一→x单调减少 m b x2为 (证明略)
二、 单调有界数列必有极限 lim x a ( M ) n n = → lim x b ( m ) n n = → ( 证明略 ) a 单调增加 b 单调减少