3倒点阵 F6( (1.3.1) 其中,R=l1a1+1a2+la3,a1、a2、a3为正点阵基矢.可见,正点阵可以表示为一 系列峰值位于R的δ函数之和 将正点阵的傅里叶变换F[p(r)]记为p(k),有 p(k)=25(-8)c"“=2“ (1.3.2) 为了得到傅里叶变换p(k)的具体形式,可以由正点阵的三个基矢a1、a2、a3定义 动量空间的三个基矢: a, x a (1.3.3) a.·(a,xa b =2丌 显然b,具有[长度]量纲,同时满足: a,·b=2-t0,i≠j i,=1,2,3 (1.3.4) 其中8,是 Kronecker 8函数这样正格矢R和动量空间的任意矢量k可以分别 以基a,和b(i=1,2,3)写为 La,+42 a,+l,a (1.3.5) k =k,b,+ k2b2+ k,b, 式中,l1、l2、l3为整数,k,、k2、k3不一定为整数,因为k是动量空间任意矢量.利 用正交关系式(1.3.4)有 R1=2(k1l1+k2l2+k3l3) (1.3.6) 于是傅里叶变换式(1.3.2)可写为 =∑8(4-h)8(k2-h2)6(k-h) 6(k-K 式中h1、h2、h3为整数,并且 (1.3.8)
16第一章晶体的结构及其对称性 在式(1.3.7)推导中应用了Pois0n求和公式 ∑=26( 式中h为整数由式(1.3.7)可见,正点阵的傅里叶变换是在波矢空间无穷个8 函数之和,其峰值位于k=K,在波矢空间中,所有满足式(1.3.7)的K,决定了 个无穷分立点的集合,称为由R决定的正点阵的倒点阵,b1、b2、b3称为倒点 阵的基矢bb2b,在倒空间所围成的平行六面体称为倒点阵的初基元胞,它在 倒空间所占的体积为 2=b1·(b2xb3) (1.3.I 每个初基元胞中只包含一个倒结点 由此得出结论,每个晶体结构有两个点阵同它联系着,一个是正点阵,另 个是倒点阵.倒点阵是正点阵的傅里叶变换,它是与坐标空间联系的傅里叶空间 中的周期性阵列傅里叶空间中的每个位置都可以有一定的物理意义,但由一组 倒格矢K所确定的那些点有特别的重要性,例如,当一个电子在刚性周期结构 中运动时,可以推断它的动量的变化由一组倒格矢确定,即△k=K,这一点在本 书以后的章节中,将多次看到 倒点阵的性质 1.正、倒点阵的基矢相互正交 我们已经看到正、倒点阵的基矢满足正交关系 (1.3.11a) 如果用矩阵A和矩阵B分别表示正点阵三个基矢和倒点阵三个基矢在直 角坐标系中的分量,正交关系可表示为 AB=2TI (1.3.11b) 其中表示单位矩阵.于是 (B)=2 (1.3.12) 其中A是以余因子A为元素的矩阵,A|是矩阵A的行列式,且|A|=n 出此还可以得到,任意正、倒格矢满足关系: K。·R=2T(h1l1+h2l2+h3l3)=2mn (1.3.13) 其中n为整数 2.倒点阵元胞的体积反比于正点阵元胞的体积 由式(1.3.10),根据基本的矢量运算,有 =b·(b:×b) (a2×a3)·[(a3xa1)x(a1xa2)] [a1·(a1×a3)]3
§1.3倒点阵 )·{[a,( (2) (2T)3 (2)3 (1.3.14) 其中』是正点阵元胞的体积 3.正点阵是它本身倒点阵的倒点阵 设正点阵的基矢为A,它的倒点阵的基矢为B,它的倒点阵的倒点阵基矢为 C.根据(1.3.12)式, AB=2T有A=2(B1) BC=2m有C=2丌(B-) (1.3.16) 由于矩阵B是非奇异的,它的转置和求逆运算可以交换,可以得到 A = C 实际上,倒点阵是正点阵的傅里叶变换p(k)=F[p(r)],而正点阵就是倒 点阵的逆傅里叶变换p(r)=F[p(k)].即函数相继的变换和逆变换,又重新 得到该函数 4.布里渊区( Brillouin zone) 在固体物理学中,通常很少采用由倒点阵基矢b、b2、b3围成的平行六面体 作为倒点阵的初基元胞,而总是采用倒点阵的W-S初基元胞因为它充分反映 了倒点阵宏观对称性.倒点阵的W-S元胞被称为第一布里渊区 5.倒点阵保留了正点阵的全部宏观对称性 设g是正点阵的一个点群操作,R为一正格矢,则gR1也是正格矢.设g 是g的逆操作,则gR1也是正格矢对任一倒格矢K4有 K R1=2 由于点群操作是正交变换,即操作前后空间两点之间的距离不变,因此两个 矢量的点乘在一点群操作下应保持不变,由此有 g(K4·gR1)=gk、·gg'R1=gk,·R1=2mh 这样gK及类似的gK。亦为倒格矢这说明正、倒格子有相同的点群对称性 6.正点阵的一族晶面(hh2h,)垂直于倒格矢K,=hb+h2b2+h3b,且晶 面间距d,=2T/|K. 在§L.2中,已经证明一组互质的晶面指数(hh2h3)表示该族晶面中最靠 近原点的一个晶面,它与坐标轴a1a2a3交点的位矢为 因此
18第一章品体的结构及其对称性 是该晶面内的一个矢量.但是 K k (h1b+h2b2+h3b3) (b;·a1-b 0 (1.3.19) 因此K垂直于该面内的一个矢量同理K,也垂直于该面内的第二个矢量: a, --a (1.3.20) 由于K,垂直于同一平面内相交的两个矢量,它必然垂直于该晶面 另一方面,K,既然垂直于该族晶面,它的法线方向单位矢量可写为 k./|K1,那么该族晶面的面间距 44,=e..I d 2T h1K,丁-TK (1.3.21) 注意,由于K,=h,b1+h2b2+h3b中,h、h1、h是三个互质的整数.K。应该是在 en方向最短的倒格矢 7.正点阵的周期函数可以按倒格式K,展开为傅里叶级数即 V(r)=v(r+R, v(r)=∑W(K,)e“ (1.3.22 v(K,)=(1/n) v(r)e dr 考虑级数 v(K.) 作平移 v(r+R)=∑V(k)e""=∑W(K,)e""e“ 由于K·R1=2mn,e=1,因此 v(r+R)=∑v(K,)e=v(r) (1.3.24) v(r)是正点阵的周期函数 对式(1.3.23)两边乘以e,并在一个正点阵初基元胞内积分,有 v(K,)/e"5.K,)"dr (1.3.25)
§1.4品体的宏观对称性19 令 h1b1+h2b2+h3b,=∑hb,E=hb+h2b2+hb,=Σhb ∑x 其中,h,h’为整数因为r为正空间任意位置矢,所以x是变量,注意到正交关 系a,b=2 (K,-K) (h1-h')x1+2(h2-h2) =2丌(m1x1+m2x2+m,x3) (1.3.27) 式中m1=h1-h1,m2=h2h3,m=h-h’为整数在a1、a2、a天然坐标系中 的体积元 dr = a, dx,.(a, dx, x a, dx,)=ndx, dx, dx, (1.3.28 于是,积分 dr =o l dx. dx.d (1.3.29) ,当m1=m2=m3=0,即K。=K时 0,其他,即K。≠K时 =nhK,K 由此,式(1.3.25)可写为 vr'd=』Sw(K)b =V(K。) (1.3.30) 于是傅里叶系数 v(K,=0[vr)ek,"dr (1.3.31) §1.4晶体的宏观对称性 在前面三节中,我们仅仅描述了晶体的平移对称性,借助于点阵平移矢量 R1,晶格能完全复位平移对称性是固体理论中最重要的性质例如,倒点阵的存 在仅仅依赖于三个正点阵的初基矢量,并不依赖于它们的特殊对称性.但是,晶 体还具有另一类对称性,例如前面讨论过的,具有sc、bc和foc结构的晶体,当 绕任一晶轴(a,b或c)旋转90°及其倍数或对任一原子作反演时,晶格也能复 原,而密堆六角晶体绕c轴旋转120°及其倍数时,晶格能够复原,晶体的这种对 称性称为宏观对称性因为在绕某轴旋转或对某点反演时,晶体中至少有一点不 动,即晶体未作平移,所以这类对称性又称点对称性晶体的宏观对称性不仅表