倒点阵 (Reciprocal lattice) 定义 二.倒点阵和晶体点阵的关系 倒点阵的物理意义 四.倒点阵实例
1.3 倒点阵 (Reciprocal lattice) 一. 定义 二. 倒点阵和晶体点阵的关系 三. 倒点阵的物理意义 四. 倒点阵实例
定义:假设a1,a2,a3是一个晶格的基矢,该点阵的格矢 为:R1=(1d1+2a2+l3a3)原胞体积是:!=a1·(a2×a3) 现在定义另一晶格的3个基矢:b,b2,b2,它们与a1,a2,a3的关系 满足: 丌.l b.=2n6 |0,i≠ i,j=1,2,3 则称这两种格子互为正倒格子。若基矢a12a2,a3的格子为正格子, 则b,b2,b3的格子就是倒格子。反之亦然。 位移矢量R=(h2b1+h2b2+h3b)就构成了倒点阵。 上面变换公式中出现的2丌因子,对于晶体学家来说并没有多大用处, 但对于固体物理研究却带来了极大的方便 倒点阵的概念是 Ewald1921年在处理晶体X射线衍射问题时首先引入的,对 我们理解衍射问题极有帮助,更是整个固体物理的核心概念
一.定义：假设 是一个晶格的基矢，该点阵的格矢 为：𝑅𝑅𝑙𝑙 = 𝑙𝑙1𝑎𝑎 ⃗ 1 + 𝑙𝑙2𝑎𝑎 ⃗ 2 + 𝑙𝑙3𝑎𝑎 ⃗ 3 原胞体积是： 现在定义另一晶格的3个基矢： ，它们与 的关系 满足： 则称这两种格子互为正倒格子。若基矢 的格子为正格子， 则 的格子就是倒格子。反之亦然。 位移矢量 就构成了倒点阵。 上面变换公式中出现的 因子，对于晶体学家来说并没有多大用处， 但对于固体物理研究却带来了极大的方便。 倒点阵的概念是Ewald 1921年在处理晶体X射线衍射问题时首先引入的，对 我们理解衍射问题极有帮助，更是整个固体物理的核心概念。 1 2 3 a ,a ,a ( ) 1 2 3 a a a Ω = • × 1 2 3 b ,b ,b 1 2 3 a ,a ,a ≠ = ⋅ = = i j i j a b i i ij 0, 2 , 2 π πδ i, j =1,2,3 1 2 3 a ,a ,a 1 2 3 b ,b ,b 2π 𝐾𝐾ℎ = (ℎ1𝑏𝑏1 + ℎ2𝑏𝑏2 + ℎ3𝑏𝑏3)
证明:b=2n-2一 a1·(a,2×a 倒格子的另一种定义 b2=2兀 ·(a2×a 3=2z、 a2×a b1口a2,b1a3=今b1=c2xa b=c1(a2×a2)=2z 2丌 2 丌(a2×a a1·(a2×a 同理(练习)b2 2xz(3×a1) 2z(a3×a1) a1·(a,xa d1·(a2×d3)
( ) 2 1 2 3 2 3 1 a a a a a b ⋅ × × = π ( ) 2 1 2 3 3 1 2 a a a a a b ⋅ × × = π ( ) 2 1 2 3 1 2 3 a a a a a b ⋅ × × = π 证明： 倒格子的另一种定义 1 2 1 ⊥ 3 b ⊥ a ,b a 1 2 3 b ca a = × a1 ⋅b1 = ca1 ⋅(a2 × a3 ) = 2π ( ) 2 1 2 3 a a a c ⋅ × = π ( ) 2 ( ) 1 2 3 2 3 1 a a a a a b ⋅ × × = π ( ) 2 ( ) 1 2 3 3 1 2 a a a a a b ⋅ × × = π ( ) 2 ( ) 1 2 3 3 1 2 a a a a a b ⋅ × × = π 同理(练习)
倒点阵是正点阵的傅立叶变换 Page16,eq.1.3.7 δ函数的傅里叶变换8(x)→1/2兀 ft 6(x-k)→e iwk T 2丌 2m汇 泊松求和公式 f(na ∑9 (已知f(x)→g(W) 取a=1,n=h,m=l 6(h-k)=2丌 2re-i(lnk 2πik e -2TTil1k1-2TTil2k2-2TTil3K 3 ∑∑ 6(h1-k1)6(h2-k2)6(h3-k3 13 12 11 h3 h2 h1
倒点阵是正点阵的傅立叶变换 Page16, eq. 1.3.7 𝛿𝛿 𝑥𝑥 → 𝑓𝑓𝑡𝑡 1/2𝜋𝜋 𝛿𝛿 𝑥𝑥 − 𝑘𝑘 → 𝑓𝑓𝑡𝑡 1 2𝜋𝜋 𝑒𝑒 δ函数的傅里叶变换 −𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 泊松求和公式 � 𝑛𝑛 f 𝑛𝑛𝑛𝑛 = 2𝜋𝜋 𝑎𝑎 � 𝑚𝑚 𝑔𝑔( 2𝑚𝑚𝜋𝜋 𝑎𝑎 ) (已知 𝑓𝑓 𝑥𝑥 → 𝑓𝑓𝑡𝑡 𝑔𝑔(𝑤𝑤)) 取𝑎𝑎 = 1, 𝑛𝑛 = ℎ, 𝑚𝑚 = 𝑙𝑙 � ℎ 𝛿𝛿 ℎ − 𝑘𝑘 = 2𝜋𝜋� 𝑙𝑙 1 2𝜋𝜋 𝑒𝑒−𝑖𝑖 2𝑙𝑙𝜋𝜋 𝑘𝑘 = � 𝑙𝑙 𝑒𝑒−2𝜋𝜋𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 � 𝑙𝑙3 � 𝑙𝑙2 � 𝑙𝑙1 𝑒𝑒−2𝜋𝜋𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑒𝑒−2𝜋𝜋𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑒𝑒−2𝜋𝜋𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = � ℎ3 � ℎ2 � ℎ1 𝛿𝛿(ℎ1 − 𝑘𝑘𝑘)𝛿𝛿(ℎ2 − 𝑘𝑘𝑘)𝛿𝛿(ℎ3 − 𝑘𝑘𝑘)
倒点阵和晶体点阵之间的关系: 倒点阵是从晶体点阵(以后简称正点阵)中定义出的,可以 方便地证明它和正点阵之间有如下关系 1.两个点阵的基矢之间满足正交关系: b,·a1=2zS 0,i≠ 两个点阵的格矢之积是2的整数倍:Rn·R1=2mn (h1b1+h2b2+h3b3)(1l1+l2a2+l3d3) 2I(L1h1+l2h2 +l3h3)=2Tn 2.倒点阵元胞的体积反比于正点阵元胞的体积: c2=b·(b2×b) (2丌)
二. 倒点阵和晶体点阵之间的关系： 倒点阵是从晶体点阵（以后简称正点阵）中定义出的，可以 方便地证明它和正点阵之间有如下关系： 1. 两个点阵的基矢之间满足正交关系： 两个点阵的格矢之积是 的整数倍： 2. 倒点阵元胞的体积反比于正点阵元胞的体积： ≠ = = ⋅ = i j i j b a ij i i ij 0, 1, 2 δ πδ 2π Ω Ω = • × = 3 1 2 3 * (2 ) ( ) π b b b 𝐾𝐾ℎ � 𝑅𝑅𝑙𝑙 = 2𝜋𝜋𝑛𝑛 𝐾𝐾ℎ � 𝑅𝑅𝑙𝑙 = ℎ1𝑏𝑏1 + ℎ2𝑏𝑏2 + ℎ3𝑏𝑏3 𝑙𝑙1𝑎𝑎 ⃗ 1 + 𝑙𝑙2𝑎𝑎 ⃗ 2 + 𝑙𝑙3𝑎𝑎 ⃗ 3 = 2𝜋𝜋 𝑙𝑙1ℎ1 + 𝑙𝑙2ℎ2 + 𝑙𝑙3ℎ3 = 2𝜋𝜋𝑛𝑛