15晶体点阵和结构分类
1.5 晶体点阵和结构分类
群的概念-1.定义 数学上看,群代表一组元素的集合 G=(E,g1g2… 这些元素被赋予一定的乘法法则,满足下列性 质 1.若gg∈G则g=gg∈G,这是群的闭合 性 2元素间满足结合律:g(g)=(gggk 3存在单位元素E使所有元素满足:Eg=g1 4任意元素g,存在逆元素:gg=E 夜圣
一、群的概念-1.定义 • 数学上看，群代表一组元素的集合 • G ｛E, g1 , g2 , ……｝ • 这些元素被赋予一定的乘法法则，满足下列性 质： • 1. 若gi , gj∈G 则gk ＝ gi gj∈ G, 这是群的闭合 性。 • 2.元素间满足结合律： gi (gj gk ) = ( gi gj gk ) • 3.存在单位元素E,使所有元素满足： E gi = gi • 4. 任意元素gi，存在逆元素： gi gi -1=E
2.对称操作群 个物体全部对称操作的集合,也满足上述群 的定义。因此一个物体的全部对称操作的集合 构成对称操作群。描述物体的对称性需要指乡 物体的全部对称操作,也就是找出它所具有的 对称操作群。 在对称操作中保持不动的轴、面或点,称为对 称操作群的对称元素,比如转动轴,反演中心, 运算法则是连续操作 如:中心反演的逆元素是中心反演,不动操作 是单位元素。 夜圣
2. 对称操作群 • 一个物体全部对称操作的集合，也满足上述群 的定义。因此一个物体的全部对称操作的集合， 构成对称操作群。描述物体的对称性需要找出 物体的全部对称操作，也就是找出它所具有的 对称操作群。 • 在对称操作中保持不动的轴、面或点，称为对 称操作群的对称元素，比如转动轴，反演中心， • 运算法则是连续操作 • 如：中心反演的逆元素是中心反演，不动操作 是单位元素
间群 晶体的所有对称操作包括平移对称操作和 点群对称操作A以及他们的组合 晶体的一般对称操作可写为: r'=gr= Atr= Ar+t 由一般对称操作组合构成的群称为空间群 t=0,非平移操作{A|0}组合构成的群称为 点群 A=E,仁R,纯平移操作组合的群称为平移 群 夜圣
空间群 • 晶体的所有对称操作包括平移对称操作t和 点群对称操作A以及他们的组合 • 晶体的一般对称操作可写为： 𝒓 ′ = 𝒈𝒓 = 𝑨 𝒕 𝒓 = 𝑨𝒓 + 𝒕 • 由一般对称操作组合构成 的群称为空间群 • t = 0，非平移操作 𝑨 𝟎 组合构成的群称为 点群 • A=E，t=Rl，纯平移操作组合的群称为平移 群
三、晶体结构的32种点群和230种空间群 由于点群中的对称操作必须和晶体的平移对称性相容 这种受限制的点群称为晶体学点群( crystallographic point group) ·晶体中只有8种独立的对称元素: 1,2,3,4,6,i,m,6 ·实际晶体的对称性就是由以上八种独立点对称元素的各 种可能组合之一,由对称元素组合成对称操作群时,对 称轴之间的夹角、对称轴的数目,都会受到严格的限制 例如,若有两个2重轴,它们之间的夹角只可能是30 45、60、90度, ·总共只能有32种不同的组合方式,称为32种晶体学点群 夜圣
三、晶体结构的32种点群和230种空间群 • 由于点群中的对称操作必须和晶体的平移对称性相容， 这种受限制的点群称为晶体学点群（crystallographic point group） • 晶体中只有8 种独立的对称元素： 1, 2, 3, 4, 6, i, m, 𝟔 • 实际晶体的对称性就是由以上八种独立点对称元素的各 种可能组合之一，由对称元素组合成对称操作群时，对 称轴之间的夹角、对称轴的数目，都会受到严格的限制， 例如，若有两个2重轴，它们之间的夹角只可能是30、 45、60、90度， • 总共只能有32种不同的组合方式，称为32 种晶体学点群