10第一章晶体的结构及其对称性 阵和fo点阵,通常选择立方胞为其单胞,如图1.1.12所示.可见s点阵的初基 元胞和单胞是一致的;bcc点阵的单胞体积为初基元胞体积的两倍,每个单胞内 包含两个结点,因此是非初基的;而fec点阵的单胞体积为初基元胞体积的四 倍,每个单胞中有四个结点,也是非初基的 单胞虽然不是初基的,但它能充分反映点阵的宏观对称性,因此在结晶学中 常常采用它 (3)维格纳-塞茨(W-S)元胞 点阵的W-S元胞是一种既能完全反映 点阵平移对称性,又能充分反映点阵宏观对 称性的空间区域.一般而言,它不是一个平行 六面体,而是一个多面体.点阵的结点处于元。 胞的中心,而不在元胞的顶角上,通过连接任 图1.L.13一个二维点阵的 意两个结点的平移矢量作平移,可以使包围 W=S元胞 这两个结点的W-S元胞重合通过所有平移矢量R1=l1a1+l2a2+l1a3作平移 可以无交叠地填满整个空间因此一个W-S元胞中只包含一个结点,它是初 基的 可以这样来构造点阵中关于一个结点的W-S元胞:把这个结点同所有其 他结点(往往只是近邻结点)用直线连接起来,作这些连线的中垂面这些面包 围的最小多面体,构成关于这个结点的W-S元胞,图1.1.13表示,在一个二维 点阵中,关于一个结点的W-S元胞的构造 对于三维be点阵,每个结点有8个最近邻,它们连线的中垂面围成一个正 八面体,另外这个结点还有6个次近邻,它们连线的中垂面截去正八面体的6个 顶角构成一个截角八面体,即十四面体,它就是b点阵中关于这个结点的 W-S元胞如图1.1.14所示,对于三维的f点阵,每个结点有12个最近邻,其 连线的中垂面构成一个正十二面体,其他近邻连线的中垂面不与之相截,所以 fc点阵关于一个结点的W-S元胞是一个正十二面体,如图1.1.15所示 图1.1.14b点阵的W-s元胞 图1.1.15fc点阵的W-S元胞
§12晶列和品面11 由于W-S元胞是初基的,又能完全反映点阵的对称性,因此在固体物理的 理论研究中有重要的应用 §1.2晶列和晶面 、晶列及其晶向标志 由于点阵中的结点周期性排列,点阵的结点可以看成分布在一系列相互平 行的直线上,称这些直线为一族晶列.一族晶列应包含点阵中所有结点无遗.点 阵中应有无穷多族晶列.每一族晶列定义了一个方向,称晶向. 如果从一个结点沿某晶列方向到最近邻结点的平移矢量为 Rr=la,+4242+4, 则用ll2l3来标志该品列所对应的晶向,记 为[l1,l2,l2],称为晶向指数由于R1是该方 向的最短平移矢量,、l2、l2一定是互质的整 数.l1、l2、l3可以是正或负整数,按照惯例负 指数用头顶上加一横表示,例如-l记为l1 由于晶格的对称性,常用(l1,l2,l)表示点阵 00」 中一组对称的晶向,图1.2.1中表示简单立 10 方点阵中几个主要的晶列及其晶向标志.图1.2.1简单立方点阵中的 111)表示[111]、[111]、[111]、「10010、11100品晶向 [111]、111、[111、[111、[1八个对称的空间对角线方向 二、晶面及有理指数定律 点阵的结点也可以看成分布在一系列平行且等间距的平面上,这些平面称 为一族晶面.一族晶面中的任何一个晶面上,应有无穷多结点,而一族晶面应包 括所有结点无遗.同一点阵可以有无限多方向不同的晶面族 数学上要描述一个平面方位,就是要在选定的坐标系中,表示该平面的法线 的方向余弦,或给出该平面在三个坐标轴上的截距 为了标志一个晶面,通常选择一个点阵结点为原点,以基矢a1、a2、a3为坐 标轴并取aa2、a3为沿三个坐标轴的天然长度单位设点阵中某族品面的面 间距为d法线方向的单位矢量为e如图1.2.2所示. 由于一族晶面中的诸平面平行、等间距,且包括所有结点无遗,必有一晶面 过原点,记为第0个晶面,其余晶面将均匀切割坐标轴该晶面族中,从原点算起 第μ个晶面到原点的距离为d,晶面方程为
12第一章晶体的结构及其对称性 X·e (1.2.1) 其中μ为整数,X为晶面上的任意一点的位矢.设 该晶面与三个坐标轴交点的截距为a1、s2a2、a3,4 依次代入方程(1.2.1),并取天然长度单位,有 os (a,,e s cos(az, e. (1.2.2) 由此可以得到 cos(a,, e.): cos(a,, e) a.e 图1.2.2一族晶面中第μ个 品面的法线方向和在 (1.2.3) 天然坐标系中的截距 可见,该晶面的法线方向余弦之比等于三个截距倒数之比说明用方向余弦和截 距去标志晶面是等价的,通常用三个截距的倒数2:1:去标志该晶面 可以证明、n必为有理数因为在该族晶面中必有三个晶面(特殊情况 下,可以是两个甚至一个晶面)过a1a2a3的端点所对应的结点设分别为从原 点算起的第h1、h2、b个晶面,它们分别在三个坐标轴上截距,取天然长度单位, 均为1.于是第个晶面的截距为 于是、分别为两个整数之比,必为有理数这就是阿羽依的晶面有理指数 定律 品面有理指数定律表述为:晶体中任一晶面,在基矢天然坐标系中的截距为 有理数它是点阵周期性的必然结果 实际上,不必一一标志一族晶面中的每一晶面,因为它们的截距成比例.通 常用从原点算起的第一个晶面的截距r“h”h2三的倒数h1、A2、h3去 标志这一族晶面,记为(h1h2h3),称为该族晶面的晶面指数 h1、h2、h3必为互质的整数.因为在方程(1.2.2)中取μ=1,就得到第一晶面 满足的方程组: h
§1.2品列和品面 另一方面,在该晶面上应有无穷多结点设在该晶面上某结点的位矢为R1=la1 +l2a2+l2a3,l1、l2、l2为整数代人方程(1.2.1)有 L cos(a,, e, )+4,cos(a,, e)+L, cos(a,, e )=d (1.2.6) 由式(1.2.5)和(1.2.6)消去方向余弦,可以得到 l1h1+l2h2+l3h3=1 (1.2.7) 如果h1、h2、h3不互质,有公因子m,m为大于1的整数可令h1=mh1,h2= mh2,h3=mh'3,h1,h2,h’为互质整数.于是式(1.2.7)可写为 (l1h+l2h2+lh3)=1 (1.2.8) 由于式(1.2.8)中,括弧内整数求和为非零整数则式(1.2.8)不成立.所以h、 h2、h3必为互质的整数 通常晶面指标化的程序为,在一族晶面中,找出任一晶面在基矢坐标轴上以 天然长度单位量度的截距,取它们的倒数,化为三个互质的整数h1、h2、h3,用圆 括号记为(h1h2h3).负指标在数字的上方用横线表示,一组方位不同的对称晶 面,用花括号表示为h1h2h3 (100 图1.2.3简单立方点阵中的主要晶面 图1.2.3标出s点阵中(100)、(110)和(111)三个晶面族.100表示在se 点阵中,一组在对称性上等价的三个晶面族(100)、(010)和(001)·而负指数的 晶面,例如(100)实际上与(100)面属于同一族晶面,没有什么区别·只有区别 晶体的外表面时,才有意义 三、晶面指数和密勒指数 晶面的标志决定于所采用的坐标系,因此同一族晶面,在不同的坐标系中指 数往往是不相同的,一般约定: 以基矢a1、a2、a3为坐标系,决定的指数称为晶面指数,记为(h1h2h3) 以单胞的三条棱a、b、c为坐标系,决定的指数,称为密勒指数,记为(hkl) 值得注意的是,除了同一族晶面的晶面指数和密勒指数可能不相同外,由于
14第一章晶体的结构及其对称性 单胞不是初基的,由a、b、c构成的平移矢量,只是点阵平移矢量的子集,因此,通 过它平移得到的点的集合也只是全部点阵结点的 子集.它将遗漏部分结点,致使在某些晶面族中遗 漏部分晶面.于是以密勒指数去标志这族晶面,其 互质的(hA)并不一定代表该族晶面中最靠近原点 的那个晶面例如在图124所示的c点阵中, 阴影所示的晶面族,它的晶面指数为(011),而密 勒指数为(100).但是,在该族晶面中,实际上最靠图1.2.4f点阵中同一族 近原点的晶面的密勒指数不是(100)而是(200).晶面(阴影所示)的晶面指数 它是图1.2.4中面心位置的结点构成的晶面,也正为(01),而密勒指数为(100 是通过a、b、c为基矢作平移所遗漏掉的结点所在的一个晶面 §1.3倒点阵 在物理学中,一个物理问题可以在坐标空间描述,也可以在动量空间(波矢 空间)描述例如,在量子力学中,描述同一个量子态,可以采用坐标表象,也可 以采用动量表象.根据物理问题的不同,可酌情采用适当的表象,使问题得以简 化另一方面,量子态依赖于系统所处的空间性质,当一个电子在完全平移不变 的均匀空间运动时,它的状态是一个有确定波矢k的平面波e因此,电子的 动量Mk是绝对守恒的.但是,如果一个电子在晶体中运动时,由于空间平移对称 性破缺,它将不断受到周期性势场的散射,与晶格交换动量,不能维持恒定的动 量.此时,动量守恒定律将如何表述?这当然涉及一个由平移矢量R1决定的坐 标空间对应的波矢空间的性质.实质上,波矢空间是坐标空间的傅里叶 ( Fourier)变换,因此,波矢空间又称为坐标空间的傅里叶空间.在固体物理学 中,通常称坐标空间为正空间,而称波矢空间为倒空间 一个平移不变的均匀空间的傅里叶变换是一个峰值位于k=0的8函数 8(k),因此,整个倒空间,除了k=0点外,是均匀的注意到一个粒子在自由空 间运动时动量恒定,因此,k=0的物理含义是表明粒子动量的改变为0.但是 个平移对称性破缺的点阵空间对应的倒空间性质如何?下面我们来讨论这一 问题 、点阵傳里叶变换,侧点阵 晶体正空间的性质,由晶体的点阵来描述,称为正点阵.它可用式(1.1.2 表示为