§1.1晶格及其平移对称性 ●SZn 图1.L.9Zns结构 图1.1.10ABO3结构 面体中心钙钛矿结构氧化物是一个性能丰富而又成员数目庞大的家族.例如典 型的铁电晶体BaTO3、 LiNbO3、 PbCrO3,高温超导体的稀土铜氧化物,和近年来 发现的具有特大磁电阻的稀土锰氧化物,都具有钙钛矿结构或畸变的钙钛矿 结构 2.简单晶格和复式晶格 从上面的讨论中可以看到,存在两类不同的晶体结构在一类结构形成的品 格中,所有原子是完全等价的作从一个原子到另一任意原子的平移,晶格完全 复原,例如 sc, bcc和fce结构形成的晶格,称为简单晶格或布拉维格子.另一类 晶格中,存在两个或两个以上不等价的原子或离子,例如由hcp结构、金刚石结 构、NaCl结构、CsCl结构、ZnS结构和ABO3结构形成的晶格,称为复式晶格.它 们的原子或离子不构成单一的布拉维格子,即从一个原子或离子到任意一个不 等价的原子或离子作平移,晶格不能复原.一个复式晶格总可以看成由两个或两 个以上的布拉维格子套构而成它决定于这种晶格中不等价的原子或离子的数 目.例如金刚石结构中,存在两种不等价的原子,每种原子分别构成面心立方布 拉维格子,因此金刚石晶格可以看成沿体对角线相互错开1/4长度的两个面心 立方布拉维格子套构而成.同样可知,NaC晶格由两个面心立方布拉维格子套 构而成,CsCl晶格由两个简单立方布拉维格子套构而成,而ABO3晶格则由5个 简单立方布拉维格子套构而成 3.基元 应当知道,除了所有化合物晶体都是复式晶格外,元素晶体虽然所有原子都 是相同的,也可能是复式晶格,因为原子在格位上占据的几何位置可以是不等价 的但是,无论是简单晶格还是复式晶格,都能找到一个最小的完全等价的结构 单元,一个理想的晶体可以由这个全同的结构单元在空间无限周期重复而得到 这个基本的结构单元称为基元,它可以含有一个原子或者一个原子(或离子) 群简单晶格的基元中只含一个原子.而复式晶格的基元中含有两个以上的原子 或离子例如金刚石结构的基元中含有两个碳原子,ABO,结构的基元中含有5
第一章晶体的结构及其对称性 个离子.图1.1.11(a)表示一个二维复式晶格的基元的一种可能选择方式 人人人入人7 入入人/ 图1.1.11二维复式晶格 (a)基元的一种选择方式基元中含有·和⊙两种原子(或离子) (b)二维复式晶格对应的点阵及基矢和初基元胞的两种选择方式 二、结点和点阵 固体物理的基本理论强调晶格的周期性或平移对称性因此,忽略结构中基 元内原子分布的细节,用一个几何点来代表它,这个几何点称为结点于是晶格 就被抽象为一个纯粹的几何结构,称为点阵.图1.1.11(b)表示如何将一个二维 复式晶格抽象为点阵 点阵是一个分立点的无限阵列.从这个阵列的任何一个结点去看,周围结点 的分布和方位都是精确相同的点阵完全反映了晶格的平移对称性 点阵是结构的数学抽象只要将基元按点阵排布就能得到晶体的结构点 阵与结构的逻辑关系是: 点阵)+〈基元》=(晶体结构) 下面列出常见的晶体结构对应的点阵 结构 类别基元中原(离)子数点阵 子格子数 sc结构 简单 sc点阵 1个格子 bc结构 简单 be点阵 1个格子 fce结构 简单 fc点阵 1个格子
1.1晶格及其平移对称性7 续表 构类别基元中原(离)子数点阵子格子数 hp结构 复式 简单六角点阵 2个格子 金刚石结构 复式 fc点阵 2个格子 NaCI结构 复式 222225 fce点阵 2个格子 CsCl结构 复式 sc点阵 2个格子 ZnS结构 复式 fce点阵 2个格子 ABO3结构 复式 sc点阵 5个格子 可见,只有简单晶格的结构与点阵形式上是一致的.复式晶格的结构与点阵 形式上不一致,它可以看成若干个与其点阵形式相同的子格子套构而成,这些子 格子相互不能通过点阵平移重合.子格子数目恰恰等于基元中原子(离子)的数 目.同时可以看到,同一种点阵可以对应不同的晶体结构,但它们具有相同的平 移对称性 三、基矢和元胞 1.基矢 为了在数学上精确地描述一个点阵,对于一个给定的点阵总可以选择三个 不共面的基本平移矢量a1、a2a3,称为点阵的基矢,使得矢量 R,=la1+la2+la3=∑la (1.1.1) 当l取一切正、负整数(包括零)时,矢量R1端点的集合包含且仅包含点阵中所 有的结点无遗于是,在数学上可以用一个空间的密度函数将点阵表示为 r)= 6(r-R1) (1.1.2) 它是一系列峰值在R1的δ函数之和,由于式(1.1.2)是对一切平移矢量R1求 和,因此p(n)应是R1的周期函数: P(r+R)=p(r) (1.1.3) 由此可见,晶格并不对任意的平移不变,而只对一组离散的平移矢量R(l只取 整数)具有不变性,称为破缺的平移对称性 实际上,如果晶体中所有基元都严格地处于点阵所确定的格位上,那么晶体 内的一切物理量,都精确的是R1的周期函数.例如,电子的势能函数满足 v(r+R)=v(r) (1.1.4) 值得注意的是,对一个给定的点阵,基矢的选择不是唯一的,存在无限多种
8第一章晶体的结构及其对称性 不等价的选择方式但每种选择必须满足a1、a2、a3所构成的平行六面体的体积 a1·(a2a3)相等,其中只包含一个结点图1.1.11(b)表示一个二维点阵的两 种基矢选择方法 2.元胞 对于一个点阵,通常定义三种元胞:初基元胞,单胞和维格纳-塞茨 er-Seitz)元胞,简称W-S元胞 (1)初基元胞是一个空间体积当通过所有平移矢量R作平移时,它可以 既无交叠,也不留下空隙地填满整个空间.因此,一个初基元胞中必定只包含 个结点如果单位体积中结点的数目为N,初基元胞的体积为,则有M=1.显 然,可以选择基矢a1、a2、a3所确定的平行六面体作为初基元胞,它在空间所占 的体积为 n=a1·(a2Xa3) (1.1.5) 其中只包含一个结点 由于基矢的选择不是唯一的,初基原胞的选择也不是唯一的.为了一致起 见,对于每一种点阵,通常约定一种公认的基矢和元胞的选择方式图1.1.12给 出8点阵、bc点阵和foe点阵的基矢和初基元胞的约定选择方式 图1.1.12基矢和元胞的选择 (a)sc点阵(b)bee点阵(e)fe点阵 对于简单立方点阵,选择 a2=a, a,= ak 其中a为立方胞的边长,、jk为直角坐标系中的单位矢量.可以将a1、a2、a3在 直角坐标系的分量写成矩阵形式: 00 010 (1.1.7) 初基元胞的体积为 (1.1.8)
1.1品格及其平移对称性 其中|A|为矩阵A的行列式 对于体心立方点阵,选择三个对称的基矢: a1=(-i+j+k) a2=(i-j+k) (1.1.9) (i +j-k) 矩阵形式为 111 a x 对于面心立方点阵,也选择三个对称的基矢: =(k+i) (1.1.11) (i+j) 矩阵形式为 101 (1.1.12 0 n=a1·(a2xa1)=|A|=1a 基矢a1a2a3往往不构成正交系,由它构成的初基元胞也往往不能直观地 反映点阵的宏观对称性但它们都能完全反映点阵的平移对称性 (2)单胞 为了能直观地反映点阵的宏观对称性,往往选择一个非初基的元胞,称为单 胞.单胞的三条棱,记为a、b、c,称为晶轴,通常选择c为晶体的主要对称轴方 向a、bc尽可能地构成正交系,它们的长度a、b、c称为晶格常数单胞是一个 扩大了的元胞,它不能通过所有的平移矢量R1=l1a1+l2a2+la3无交叠地填满 整个空间,只能通过点阵平移矢量的一个子集T。=m;a+m2b+mc作平移无交 叠地填满整个空间,因此不能完全反映点阵的平移对称性,对于sc点阵,b点