5规范正交基 定义3设n维向量e1,e2…,,是向量空间vWc 王R的一个基如果,,,两两正交且都是单位 向量则称t,e2,…,是的一个规范正交基 例如 工工工 1/√2 1/2 1/2 1/2 0 0 0 De4 1/2 1/√2 上页
５ 规范正交基 , , , , . ) , , , , 3 , , , ( 1 2 1 2 1 2 向 量 则 称 是 的一个规范正交基 的一个基 如 果 两两正交且都是单位 定 义 设 维向量 是向量空间 e e e V R e e e n e e e V V r r n r . 1 2 1 2 0 0 , 1 2 1 2 0 0 , 0 0 1 2 1 2 , 0 0 1 2 1 2 1 2 3 4 − = = − = e = e e e 例如
√2 1/√2 /2 e 1/√2 e4= 0 1√2)(-12 le1,e;l=0,i≠且i,=1,2,34 由于 le,e,l=1,i=诅且i,j=1,2,34 王所以=,=,2为R的一个规范正交基 上页
. 1 2 1 2 0 0 , 1 2 1 2 0 0 , 0 0 1 2 1 2 , 0 0 1 2 1 2 1 2 3 4 − = = − = e = e e e = = = = = [ , ] 1, , 1,2,3,4. [ , ] 0, , 1,2,3,4. e e i j i j e e i j i j i j i j 且 且 由于 , , , . 4 所以e1 e2 e3 e4为R 的一个规范正交基
同理可知 000 2 93 001 000 0 也为R的一个规范正交基 上页
. 1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1 1 2 3 4 = = = = 同理可知 . 也为R 4的一个规范正交基
6求规范正交基的方法 设a1,a2,…,a,是向量空间W的一个基,要求v 的一个规范正交基,就是要找一组两两正交的单 位向量e1,e2,…,er,使et 1925 ,e,与a1 529∴ a,等 生价这样一个间题称为把a,4x…2这个基规 范正交化 王若a,n2",为向量空间的一个基 工工 (1)正交化,取b1=a1, b,= 2 b b,b 19 上页
（1）正交化，取 b1 = a1 ， , , , 1 1 1 1 2 2 2 b b b b a b = a − , , , , 若a1 a2 ar为向量空间V的一个基 ６ 求规范正交基的方法 价 这样一个问题 称为 位向量 使 与 等 的一个规范正交基 就是要找一组两两正交的单 设 是向量空间 的一个基 要求 , , , , , , , , , , , , , , , , , 1 2 1 2 1 2 1 2 r r r r e e e e e e V V . , , , 1 2 范正交化 把 r 这个基规
b =a [,a31 62, a31 3b1,b11|b2, ●●● ●● sa、[b1,al b, 2 15 1b,b,1 2902 19r-1 那么b,…,b两两正交,且b1,…,b,与a1,…a等价 (2)单位化,取 那么e1,e2…,e,为的一个规范正交基 上页
1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] − − − − = − − − − r r r r r r r r r b b b b a b b b b a b b b b a b a , , , , , , . 那么b1 br两两正交 且b1 br与a1 ar等价 （2）单位化，取 , , , , 2 2 2 1 1 1 r r r b b e b b e b b e = = = , , , . 那么e1 e2 er为V的一个规范正交基 2 2 2 2 3 1 1 1 1 3 3 3 [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] b b b b a b b b b a b = a − −