导数的定义二、在点X的某邻域内有定义定义1.设函数{ y= f(x)f(x)=f(x)AyAy= f(x)- f(Xa)若lim=lim△ X= X- ×oX-XoX- Xo4x-04x存在,则称函数f（x)并称此极限为在点×.处可导记作：在点×.的导数y= f(x)df(x)dyy/x=xof (×o) :dxdxX= XoX= XoAy即V=f (xo) = limIXX4x-0Xf(×。+h)- f(o)f (x。+ △x)- f(xo)1imlimhAxh-o4x-0HIGHER EDUCATIONPRESS
二、导数的定义 定义1 . 设函数 y= f ( x) 在点 x0 lim x→x0 f ( x)− f ( x0 ) x− x0 = lim Δ x→0 Δy Δ x Δy= f ( x)− f ( x0 ) Δ x= x− x0 存在, f ( x) 并称此极限为 y= f ( x) 记作: y ' | x= x 0 ; f ' ( x0 ) ; dy dx| x= x0 ; df ( x) dx | x= x0 即 y ' | x= x 0 = f ' ( x0 ) = lim Δ x→0 Δy Δ x = lim Δ x→0 f ( x0 +Δx)− f ( x0 ) Δ x = lim h→0 f ( x0 +h)− f ( x0 ) h 则称函数 若 的某邻域内有定义 , 在点 x0 处可导, 在点 x0 的导数
运动质点的位置函数s= f(t)f(ta)f(t)to在日时刻的瞬时速度f(t)- f(to)= f(to)VELmt-t.Ho曲线C:y=f（x）在M点处的切线斜率f(x)- f(Xo)k= limy=f(X)X-Xo业X-XoM=f (Xo)XoHIGHER EDUCATION PRESS
运动质点的位置函数 s= f (t ) 在 t 0 时刻的瞬时速度 v= lim t→t 0 f (t)− f (t 0 ) t− t 0 曲线 C: y= f ( x) 在 M 点处的切线斜率 k= lim x→x 0 f ( x)− f ( x0 ) x− x0 = f ' ( t 0 ) = f ' ( x0 ) s O t 0 f (t 0 ) f (t ) t α N T x0 M x x y y= f ( x) C O
若极限Ay= f(x)- f(Xo)V1im f(x)- f(×o)= lim△ X= X- XoX-→XoX- Xo4x-0Ax不存在×不可导就说函数在点Ay若在x白也称f(x)lim的导数为无穷大41-0AX就称函数在I内可导若函数在开区间I内每点都可导此时导数值构成的新函数称为导函数df(x)dy记作：:y是f(x)dxdxdf(Xo)注意：f(xo) =f(x)Ix=x艺dxHIGHER EDUCATIONPRESS
lim x→x0 f ( x)− f ( x0 ) x− x0 = lim Δ x→0 Δy Δ x Δy= f ( x)− f ( x0 ) Δ x= x− x0 不存在, 就说函数在点 x0 不可导. 若 0 lim , Δ Δ x Δ y → x = 也称 f ( x) 在 x0 若函数在开区间 I 内每点都可导, 此时导数值构成的新函数称为导函数. 记作: y ' ; f ' ( x) ; dy dx ; df ( x) dx . 注意: f ' ( x0 ) = f ' ( x)| x= x 0 df ( x0 ) dx ¿ 就称函数在 I 内可导. 的导数为无穷大 . 若极限
例1.求函数(C 为常数)的导数f(X)=CCf(x+ △x)= f(x)解：=limClimAx4x-0AxAx-0即(C)=0f(x)=x（nEN）在x=a处的导数例2.求函数xaf(x)-f(a)解：=lim-f(a)=limx-ax-aX-ax-a+a x2 +axn-3=lim(xn-tax-a-a力拉HIGHER EDUCATION PRESS
例1. 求函数 f ( x)= C (C 为常数) 的导数. 解: y ' = lim Δx→0 C− C Δx = 0 即 ( C ) ' = 0 例2. 求函数 f ( x)= x n (n∈N + ) 在 x= a 处的导数. 解: f ( x)− f (a) x− a = lim x→a f ' (a) = lim x→a x n − a n x− a = lim x→a ( x n− 1 +a x n− 2 +a 2 x n− 3 +⋯ +a n− 1 ) = n a n− 1 f ( x+Δx)− f ( x) Δx = lim Δx→0