例题bb-ab-a例1证明不等式(0<a<b)<Inbaa提示与分析：h因为ln==lnb-Ina,则所证不等式可以化aIn b-In a为二bb-aa在区间[a,b上用拉格朗日公式
例1 ln (0 ). 证明不等式 b a b b a a b b a a − − 提示与分析： 在区间[ , ] a b 上用拉格朗日公式. 因为 则所证不等式可以化 为 ln ln ln , 1 ln ln 1 , b b a a b a b b a a = − − − 例 题
证明 作辅助函数f(x)=lnx，因为0<a<b,所以f(x)=lnx在[a,b|上连续，在(a,b)内可导根据拉格朗日中值定理，在(a,b)内至少存在一点使Inb-InaVf'()Eb-aS故又0<a<<b,babbInb-Inab1-aa所以因此< Inbbb-aaaa
1 x = 根据 ，在 内至少存在一点 ， 拉格朗日中值定 使 理 ( , ) a b 证明 作辅助函数f x x ( ) ln , = 所以f x x a b a b ( ) ln [ , ] ( , ) = 在 上连续，在 内可导， 因为0 , a b， ln ln ( ) b a f b a − = − 故 1 1 f ( ) , b a 所以 1 ln ln 1 , b a b b a a − − 因此 ln . b a b b a b a a − − 又0 , a b (ln ) x x = =
sin x1x例2求limx→0 1- cosxsinxlim：1x-0xsinx1提示与分析：X1-cosx0型，用洛必达法则求解因此该式为二老0sinxxcosx-sin xY1t?x解 limsin x(1 - cos x)x-00sinx-xcosx化简= limx? sin x0x-→0
例 求 0 sin 2 1 lim . x 1 cos x x → x − − 因此该式为 型，用洛必达法则求解. 0 0 0 sin lim 1 x x → x = 提示与分析： sin 1 1 cos x x x − − 0 sin 1 lim x 1 cos x x → x − = − 2 0 sin cos lim x sin x x x → x x − = 0 0 解 2 cos sin sin x x x x x − ( ) − ( ) 化简
sinx-xcosx1lim继续用洛必达法则(x’ sin x)x-→00cos x-(cosx- xsinx)整理Jim=x-→02xsin x + x' cosx(sin x)=lim再次用洛必达法则x→0(2sin x + x cos x)1cos O:= limx-03cos 0 -0 sin 013
2 0 sin cos lim x sin x x x → x x − = 0 0 继续用洛必达法则 0 sin lim x 2sin cos x → x x x = + 0 0 再次用洛必达法则 0 cos lim x 3cos sin x → x x x = 0 − 0 0 0 0 1 . 3 = ( ) ( ) 2 0 cos (cos sin ) lim x 2 sin cos x x x x → x x x x − − = + 整理 ( ) ( )
x2 + In x例3求limX-*0 x?. In xx+lnx提示与分析：8洛必达法则求解x?.nx8化简2x2+12x+1/x0.8lim解原式= limD2x? In x+ xx-→+8x-→>+2xlnx+x4x分子分母同除以xlim=4xlnx+2x+2xx-→+04lim= 0.=无穷大量的倒数4n x± 4X→+0为无穷小量无穷大量
2 2 ln ln x x x x + ( ) 解 原式 2 2 ( ln ) lim ( ln ) x x x →+ x x + = 4 lim 0. x→+ 4ln 4 x = = + 例 求 2 2 ln lim ln 3 . x x x →+ x x + 提示与分析： 2 1/ x x + 洛必达法则求解 2 2 2 2 1 lim x 2 ln x →+ x x x + = + 2 2 2 (2 1) lim (2 ln ) x x →+ x x x + = + 4x 4 ln 2 2 x x x x + + 化简 分子分母同除以x 无穷大量的倒数 为无穷小量. 2 x x x ln + 无穷大量