银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第三章 中值定理与导数的应用

银川能源学院《高等数学》教亲 第三章徽分中值定理与导数的应用 于是就有 p.x)-Rxop+f(x)(x-x)+j(-()(-x)". 泰勒中值定理如果函数x)在含有xo的某个开区间(a,b)内具有直到 n+l)的阶导数，则当x在(a,b)内时，x)可以表示为(x-x0)的一个n次多项式 与一个余项Rx)之和： f闭=f)+f6Xx-+xX-xy++m(Xx-xr+R(倒 其中R2-(G介于。与x之间 这里 多项式 p.()=x)+f(xXx-x)+jM(Xx-x+..+Xx-x. 称为函数x)按-和)的幂展开的n次近似多项式，公式 f国=Hf-)+f-P++X-P+R, 称为x)按(x-o)的幂展开的n阶泰勒公式，而Rm(x)的表达式 其中风=2-6(5价于x与6之间 称为拉格朗日型余项。 当n=0时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式： x)=xo)+f'(x-xo)(在x0与x之间). 因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广 如果对于某个固定的n,当x在区间(a,b)内变动时，f+(x)川总不超过一 个常数M,则有估计式： k=a9-Ps- (n+1)！ 及 思0 可见，妆x→xo时，误差R(x)是比(x-0)”高阶的无穷小，即 Rn (x)=o[(x-xo)"]. 在不需要余项的精确表达式时，n阶泰勒公式也可写成 fx)-f(x)+M(x)x-x)+jMGo)x-x +jGXs-xr+d(-x). 当0=0时的泰勒公式称为麦克劳林公式，就是 f=0+f0x+f'g0x2++fo0"+R., 21 第6页

银川能源学院《高等数学》教案 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 6 页 于是就有 pn(x) f(x0) f (x0) (xx0) ( ) 2! 1 0  f  x (xx0) 2    ( ) ! 1 0 ( ) f x n  n (xx0) n  泰勒中值定理 如果函数 f(x)在含有 x0 的某个开区间(a b)内具有直到 (n1)的阶导数 则当 x 在(a b)内时 f(x)可以表示为(xx0 )的一个 n 次多项式 与一个余项 R n(x)之和 ( )( ) ( ) ! 1 ( )( ) 2! 1 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 2 ( ) 0 0 0 0 0 f x x x R x n f x f x f x x x f x x x n n n             其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( )      n n n x x n f R x  (介于 x0 与 x 之间) 这里 多项式 n n n f x x x n p x f x f x x x f x x x ( )( ) ! 1 ( )( ) 2! 1 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 2 ( )  0   0  0   0  0      称为函数 f(x)按(xx0 )的幂展开的 n 次近似多项式 公式 2 0 0 0 0 0 ( )( ) 2! 1 f (x) f (x ) f (x )(xx ) f  x xx    ( )( ) ( ) ! 1 0 0 ( ) f x x x R x n n  n  n  称为 f(x)按(xx0 )的幂展开的 n 阶泰勒公式 而 R n(x)的表达式 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( )      n n n x x n f R x  (介于 x 与 x0 之间) 称为拉格朗日型余项 当 n0 时 泰勒公式变成拉格朗日中值公式 f(x)f(x0 )f ()(xx0 ) (在 x0 与 x 之间) 因此 泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广 如果对于某个固定的 n 当 x 在区间(a b)内变动时 |f (n1)(x)|总不超过一 个常数 M 则有估计式 1 0 1 0 ( 1) | | ( 1)! ( ) | ( 1)! ( ) | ( )| |          n n n n x x n M x x n f R x   及 0 ( ) lim 0 ( ) 0    n n x x x x x R  可见 妆 x x0 时 误差|R n(x)|是比(xx0 ) n 高阶的无穷小 即 R n (x)o[(xx0 ) n ] 在不需要余项的精确表达式时 n 阶泰勒公式也可写成 2 0 0 0 0 0 ( )( ) 2! 1 f (x) f (x ) f (x )(xx ) f  x xx    ( )( ) [( ) ] ! 1 0 0 0 (n) n n f x x x o x x n      当 x0 0 时的泰勒公式称为麦克劳林公式 就是 ( ) ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2 x R x n f x f f x f f x n n n          

银川能源学院《高等数学》救亲 第三章徽分中值定理与导数的应用 或 f=f0+fox+0++00m+dm, 其中R,(=fa且rH. n+I)！ 由此得近似公式： 0+/0+/9++on. 误差估计式变为： wa的. 例1.写出函数fx)=e的n阶麦克劳林公式. 解：因为fx)f'(xf"x…fx)e, 所以0)=f(0)=f"(0)=…=∫”0)=1， 于是 et++…+r4n0en 并有 这时所产性的误差为 R奇水x 当x=1时，可得e的近似式：e*l+l+++ 2 n 其误差为R水mnm 3 例2.求x)=sinx的n阶麦克劳林公式. 解：因为 f'(x)=cosx,f"(x)=-sinx,f""(x)=-cosx, )=sinx,..(x)=sin(x+n.), f0)=0,f"(0)=1,f"(0)=0,f"(0)-1,40)=0,… 于是 sm=+时4一尼国. 当m=1、2、3时，有近似公式 snx,snx*x,snxx+。 第7页

银川能源学院《高等数学》教案 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 7 页 或 ( ) ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2 n n n x o x n f x f f x f f x           其中 1 ( 1) ( 1)! ( ) ( )     n n n x n f R x   由此得近似公式 n n x n f x f f x f f x ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2          误差估计式变为 1 | | ( 1)! | ( )|    n n x n M R x  例 1．写出函数 f(x)e x 的 n 阶麦克劳林公式 解 因为 f(x)f (x)f (x)    f ( n) (x)e x  所以 f(0)f (0)f (0)    f ( n) (0)1  于是 2 1 ! ( 1)! 1 2! 1 1          n x x n x n e x n e x x  (0<) 并有 x n x n e x x ! 1 2! 1 1  2   这时所产性的误差为 |R n(x)|| (n1)! e x x n1 |< ( 1)! | | n e x | x | n1  当 x1 时 可得 e 的近似式 ! 1 2! 1 1 1 n e x        其误差为 |R n |< ( 1)! 3 ( 1)!   n n e  例 2．求 f(x)sin x 的 n 阶麦克劳林公式 解 因为 f (x)cos x  f (x)sinx  f (x) cos x  f (x) sin x (4)       ) 2 ( ) sin( ( )  f x  xn n  f (0)0 f (0)1 f (0)0  f (0)1 f ( 4)(0)0    于是 ( ) (2 1)! ( 1) 5! 1 3! 1 sin 2 2 1 1 3 5 x R x m x x x x m m m           当 m1、2、3 时 有近似公式 sin xx 3 3! 1 sin x x x  3 5 5! 1 3! 1 sin x x x  x 

银川能源学院《高等教学》救亲 第三章微分中值定理与导数的应用 第三节 函数单调性与曲线的凹凸性 一、函数单调性的判定法 如果函数y=x)在[a,b]上单调增加（单调减少），那么它的图形是一条 沿x轴正向上升（下降）的曲线.这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是 非正的)，即y=∫'(x)≥0y=∫'(x)s0).由此可见，函数的单调性与导数的符号 有着密切的关系， 反过来，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？ 定理1（函数单调性的判定法）设函数=x)在[a,b]上连续，在(a,b)内 可导 (I)如果在(a,b)内f"(x)>0,那么函数y=x)在[a,b]上单调增加； (2)如果在(a,b)内f'"(x)<0,那么函数)=x)在[a,b]上单调减少 证明只证(1).在[a,b]上任取两点x1,2(x1<2,应用拉格朗日中值定 理，得到 x2)-x)=f'(x2-x1)(x1<x2) 由于在上式中，x2-x1>0,因此，如果在(a,b)内导数f'(x)保持正号，即f '(x)>0,那么也有f'(月>0.于是 x2-x1=f'(0x2-x1)>0, 即 几x1)x2), 这函数=x)在[a,b]上单调增加. 注：判定法中的闭区间可换成其他各种区间. 例1判定函数=x-sinx在[0,2列上的单调性。 解因为在(0,2内 y=1-c0sx>0, 所以由判定法可知函数=x-cosx在[0,2刀上的单调增加. 例2讨论函数='-x-1的单调性.（没指明在什么区间怎么办？） 解y=e-l. 函数=ex-x-1的定义域为(-o,+o).因为在(-o,0)内y<0,所以函数=e -x-1在(-o0,0]上单调减少；因为在(0，+o)内y'>0,所以函数y=e-x-1在[0， +oo)上单调增加， 例3.讨论函数y=的单调性 解：函数的定义域为(-0，+o)】 当时，函数的导数为 y动(0.函数在0处不可导. 当=0时，函数的导数不存在. 因为x<0时，y<0,所以函数在(-0,0]上单调减少； 因为x心0时，y>0,所以函数在[0，+o)上单调增加. 如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且 连续，那么只要用方程f'(x)=0的根及导数不存在的点来划分函数x)的定义 区间，就能保证∫'(x)在各个部分区间内保持固定的符号，因而函数x)在每 个部分区间上单调. 例4.确定函数fx)=2x-9x2+12x-3的单调区间. 第8页

银川能源学院《高等数学》教案 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 8 页 第三节 函数单调性与曲线的凹凸性 一、函数单调性的判定法 如果函数 yf(x)在[a  b]上单调增加（单调减少） 那么它的图形是一条 沿 x 轴正向上升（下降）的曲线 这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是 非正的） 即 yf (x)0(yf (x)0) 由此可见 函数的单调性与导数的符号 有着密切的关系 反过来 能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？ 定理 1(函数单调性的判定法) 设函数 yf(x)在[a b]上连续 在(a b)内 可导 (1)如果在(a b)内 f (x)0 那么函数 yf(x)在[a b]上单调增加 (2)如果在(a b)内 f (x)0 那么函数 yf(x)在[a b]上单调减少 证明 只证(1) 在[a b]上任取两点 x1  x2 (x1 x2 ) 应用拉格朗日中值定 理 得到 f(x2 )f(x1 )f ()(x2x1) (x1 x2 ) 由于在上式中 x2x10 因此 如果在(a b)内导数 f (x)保持正号 即 f (x)0 那么也有 f ()0 于是 f(x2 )f(x1 )f ()(x2 x1 )0 即 f(x1 )f(x2 ) 这函数 yf(x) 在[a b]上单调增加 注 判定法中的闭区间可换成其他各种区间 例 1 判定函数 yxsin x 在[0 2]上的单调性 解 因为在(0 2)内 y1cos x 0 所以由判定法可知函数 yxcos x 在[0 2]上的单调增加 例 2 讨论函数 ye x x1 的单调性 （没指明在什么区间怎么办？) 解 ye x 1 函数 ye x x1 的定义域为( ) 因为在( 0)内 y0 所以函数 ye x x1 在( 0] 上单调减少 因为在(0 )内 y0 所以函数 ye x x1 在[0 )上单调增加 例 3 讨论函数 3 2 y x 的单调性 解 函数的定义域为( ) 当时 函数的导数为 3 3 2 x y   (x0) 函数在 x0 处不可导 当 x0 时 函数的导数不存在 因为 x0 时 y0 所以函数在(, 0] 上单调减少 因为 x0 时 y0 所以函数在[0, )上单调增加 如果函数在定义区间上连续 除去有限个导数不存在的点外导数存在且 连续 那么只要用方程 f (x)0 的根及导数不存在的点来划分函数 f(x)的定义 区间 就能保证 f (x)在各个部分区间内保持固定的符号 因而函数 f(x)在每 个部分区间上单调 例 4 确定函数 f(x)2x 3 9x 2 12x3 的单调区间