16前三种运算的结果分别称之为张量场T的梯度，散度和旋度。微分算子所参与的张运算有下述两种T.=().T×=e()(5.1)容易证明下述公式 ×(Tn) = 0,7 F× 7>)= 1(53.5)×( × T(n>0) =(V T>0)) -20>0)式中7">0）表示阶数大于零的张量。设与为标最场，f与为矢量场（下同，可得Viow)=aVu +i-VeVlof)=$vf+?V.(of)=V.f+fF×(af)=ov×f-f×Ve(Vg)-f =f× (F ×g)+f.(Vg)V(f-g) = (Vg) t+(Ff) g156i-×g)=g(xf)-fixgVx(fxg=fr-g)-g(F f)-f (Fg)+g.(Vfi[司)=(V0)[()r×fo =(Va) × 27>0) =FV T1>0:-(×Tm>0))
17记r=（r-,y-y,=-)，r=ri，我们有Fr=n,=r/r..u, =2/r7r=3Vxr=Fr=1.F41=-1 =-173m)(5.7)V×=0.F,=[]V(a rj = a.(a.)nr=i[a-(a·n,)nr)-a,/rVo[r)=g'(vnr=@'()r式中a为常量。对于张量场的体积分，有下述常用的积分变换公式hdFo=daeJdf=fda ff.dxf=$daxf(5.8)Ju dVT fedaTJuduV.Tn>0 = d Tn>0)fduF×Tin>01=f,da×TIn>0)式中S是体积的闭合边界曲面，面元do的止方向取为外法向。它们可概括为下述替换法则11duda(5.9).1式中√算了与d的外法向应以同一位置出现在被积式中
18对于张量场的面积分，有下述常用的积分变换公式JidaxofdloJida xv.f=dalTJeida× V) × f = f, dl ×f(5.10)Ig(da × V)T = $, dTJg(do ×V) T(w>0)= f, dl n>0lJg(da×V)× Tin>0"= , di× 7u>0.式中！是面积的闭合边界曲线，面元d的方向按右手螺旋法则出L的方向决定。它们可概括为下述替换法则da(5.11)Jt.S式中da×与dl的方向应以同一位置出现在被积式中。习题1.51证明A2A(TA).A×(×A)=2.证明(a) C-T(A.B) =A-(C V)B+B (C.)A(b) (C V)(A ×B)= A ×(C V)B- B × (C.V)A(c)(V·A)B-(A.V)B+BT.A(d) (A×B) (×C)=B-(A-T)C-A-(B-F)C(e) (A×V)×B=(A )B+A×(×B)-AV B(f) (V×A)×B=AV B-(A.V)B-A×(V×B)-B×(V×A)
193.证明（5.5)诸式。4.证明56)诸式。5.证明（5.7）诸式。6试求下列各量：[ir.n)m].×(r.nimF(rxn)×n] ×[(r×n)xn!式中（a)n为一单位常矢量；（b）nr/r。答案：(a)1:0:-2.0;(h)3.(0). 0。7.设a、k与E均为常失最，试求下列各本(a.)r: (a-r): E.sm(k.r)) × (Eusm(k r)试山高斯定理证明dA=daAdae式中A与分别是某一矢量与标量。提示：将等式两边与任意常失基点乘，经矢量运算后运用高斯定理。9.试出斯托克斯定理证明daxFo=dl式中是一个标。提示：将等式两边与任意常量点乘，经失量运算后运用高斯定理。10.设失其A在体积！中满足√，A=0，且在体积1'的边界面S上满足n·A=，这里为边界面S的法向。试证(b) Fn h dr % = 0(a) J. dr A = 0;式中厂R作用在矢径R上。提示：la）考患并矢Ax的敏度的体积分
201计算积分13y武中是常失量。答案；均为，「是以为边界的区域的体积。12将下列积分(danifdaodaxf历体积分表出，式中是常矢址，"是标量场，是矢量场。设fari定r的可微函数：H满足下述线性条件Jea"a.rj="ia.r+r!(a.r)式中与2是任意常数。试证fdafinrj-drf(rr)式中是体积的边界面，1是S的外法向；微分算了作用在1下，只在所有变的左力！将积分，dorir用面积分表出，式中与都足标最。1证明dA××B-B××AdB×A)-A×(×B)亥姆霍兹定理定理：区域！中的一个矢场山它的散度、旋度和它在边界的值（法向或切向分量）唯一地确定。这称为亥姆霍兹（Helm-holtz）定理