1:式中是任意的止交矩阵的矩阵元。张量7显然应与坐标变换系数a无关，而这只能在T取下述形式Tykt=ao,on!+Borr+Conotk时成立，式中，1、13、（是常数。上式可写成Tki =e.c,er) + Btef-e(c +te-e)(e,erj另外不变张量应在坐标轴的任意交换例如第轴与第轴交换下不变，因而有A=B=(证毕。利用式（3.17）可得(3.22)(A ×B), =B (,e, X Bre)=tA, Br对于任一个二阶反对称张量，可以利用构造一个矢其1(3.23)w,yw利用关于uk的恒等式，可从上式解得(3.24)tij=ftkwy可见，失量w，与反对称张量w是一一对应的。习题1.31.若T，是一个二阶张量，3,足~个二阶张量，则7,P是一个腰标量。2.证明：当坐标系旋转或偶数个坐标轴反向时，变换行列式等于1；当奇数个坐标轴反向时，变换行列式等于-1。3设；是笛卡儿坐标，求当空间坐标系作旋转与反演变换时诸体积分「"(2）的变换规律，式中（）是一个标量函数。4.试用两矢景的循环分量表示它们的标积（点乘）与失积（叉乘）：并用勤让德球函数表示失径的诸循环分量
12答案：(ax bjo = i(a_b+-n+b_), (ax b)± = ±uoh± -n±bn)ARah=Z(-ya-rbu.ruVi.=$1.1张量代数若，与为同类的，阶张最，则它的和与差是下述：阶张址(41)(t3).i.=A±3.若入是一个数（可以是实数或复数），则与张最之数乘是下述张量(12)(A/).= 芳1与B分别为m与阶张量，则出下式定义(1.3)(A2Btt.1.=.mBi.Jm的张堆AB是（+n）阶张最，称为与的张射积。运算(1.1)I.+ ++ t+ +.ee+.称为张量T的指标讠与求之间的收缩。一个阶张基T经一次收缩后成为（孔一2）阶张量。二阶张量1，的迹(15)1rT=7,=7.与两矢量A与B的标积14.6)A-B=AB=A,以及两个张最T与的一次点乘(17)TI=Tt和二次点乘T't=7,,:(1x)
13都是收缩运算的例了。值得注意的是，山定义式，.8）有ahed-(h ha d)即对于多次点乘，应逐次收缩两张量间最邻近的一对指标。于是，若7为二阶张量，a为量，则ar=ra(1.9)按照相邻指标参与收缩的约定，容易写出两张最叉积的定义式(1.10)1x=eroteeeT2可以证明下述定理：若对任意失量B，1.3.是一个标量（或腰标量则A是一个量（或轴天量！。对任意轴天最B，小，一个标量（或质标量）则A是一个轴或极1失量。例如，对于任意的矢基C，（A×B）C等于出矢量A、B和C所张成的平行八面体的体积：它在三维空间中的转动变换下不变。在空间反演下，体积变号，因而体积是质标量：故出上述定理可知A，B是魔天量。利用关系：31)=OCm-r!易证(4 11)ax(hxcl=(arh-fabio上式左端有两次叉乘运算，因而它的止确性与正交坐标系的螺旋性无关。利用此式可证明许多张恒等式。张量代数运算中常用到的其它公式如下a.ibxci-b-(exaaxh)rdi=(acfdi-adhch14 12)(axhx.cxd)=laxin-a-thxridFfah-t=(axbj.wi=岁xk设n；为欧氏空间中某一方向失基Ⅱ的第分量。出Ⅱ的张域积可构成高阶张最。这些高阶张量对空间所有方向平均后所
11得的张最对于坐标系的旋转是不变的，因而是不变的对称张量(对称是由于n.n，一n,n）。例如元=言/m=m=fisnn=i,(1.13)P=J=0oh=t2n.nnm=+h+a.a+由此可得a.n.o(a.n)2=la'/3a·nb.n=ab/3anm=a/(414)[axnj2 = 2 al2 /R(axn)(b×ni=2a.b/tsa.nh-nc.nd.n=ja.bc-d+ach.d+a.dh.al令了=i+ii+kk，此即度规张量，它也常称为单位张。因为Tn J= f-h!n>u121=3 2:=r(F)(4 15)式中7(n）是n阶张量（或质张基)。习题1.41.证明A× (B× C)+B× (C× A)+C×(A ×B)= (2将下述量写成失量表达式mlrafinpftannrbmrtCnrekrsfmgtstnabaCmrinrf
15答案：u?(b.c) + (a-b)(a.c).[(e × b) × f -[(d × a) ×c]31为二阶单位张量，试证a (b xcj/ = a(hx c)+b(cxa) +c(axb)提示：先验证恒等式tnnp=Crejtnr+oanfgnt+brEgim4.证明（4.13）诸式。5.证明（4.14）诸式。81.5张量分析在三维笛卡儿坐标系中，微分算了厂定义为08d(5.1)T=OorCayy在欧氏空间中通常规定(5.2)13=zEI= T.T2 = y.值得指出的是，在闵可夫斯基时空中通常规定（见后面）3 = 22=故而r=-.2 = -1.F3=-2不要将上式与式（52）混。微分算了V不仅是一个微分算符，而且是一个（极）量：因而它可同时参与微分运算和张最运算。微分算了√对张最场T的作用（即微分运算）有下述几种VT=W最T.V·T=(CT)153)最(x2=（++)VxT=ea