2!证明：设1与是区域！内的两点，而=1-。借期于恒等式1r-二式中厂作用在上，可将区域！中的矢量场F）写为,F(r')二7F(r).i.1rRA或Fir'.1AFirj=12R17元.1利用积分变换公式知下述恒等式111T?1611Rt1i「式中一作用在上可得Fr.TFin:FirTrttRRR与F(r') × F(r')F(r')idaDRR1?卜是Fr)F(r':IF:r!.ic177+R?FxFrFrtin':65214元R1元R此即亥姆霍兹定理。亥姆霍兹定理的数学表达式说明：区域中的矢革场F（r")可表示为一个标量函数的梯度（它足无旋场即旋度为岑的场）与
22个失试函数的旋度（它是无散场即散度为器的场）之和。这个标量函数山Fr）的敏度与F（rI在边界上的法向分域完全确定：而量函数则山F的旋度与F"在边界上的切向分量完全确定。令pr) - .F(r)rtr) = -n F(r)j=Frnir': = -nxFir)式中儿是面元的外法向。它们分别是矢量场Fr）在区域！中与边界面下的源密度与漩涡源密度，利用这些源密度可将亥姆蕾慈定理表达式改写为aw(r')d川r)F(r) = -:1uh1rRS do(r"),l(r)+一x(0.3)4元14元R这说明：区域！中的矢本场的无旋部分是体积内和边界面上的源分布的势的梯度：其有旋部分则是体积！内和边界面卜的漩涡源分布的势的旋度。习题161.矢本A、B与C分别在直角坐标系、杆坐标系或球坐标系中山下式表示A = er(3u2 -- 2r) +e,+3 +e.2:B=c.smo+ma-*ront+e.2rssinoC * t, snftorG + econocona -torio将它们表示为一~个标英函数的梯度或一个失最函数的旋度。2.证明在全空间中：（a）一个非琴的无旋场的散度不能处处为零；
2（）一个非岑的无散场的旋度不能处处为签。i正交曲线坐标系设空间中有山下述组函数-123(7 E)riy描述的三组断间，式中是空间点的笛卡儿坐标。若在空间中任点，雅可比ao）知阵dulixu/dut/n!((i, 2. t.)(7 2)tu:/ori2/o72ou2/u.rat.!iricu.ton.t.o!的行列式不为岑，则方程组！，可对，，解出()-.I一因而空间中任--点的笛卡儿坐标（..：山一组参数值u.唯一地确定，这组参数值称为点”的曲线坐标；而(7 4)1= 1 2.3二常数确定的曲面称为坐标曲面，坐标曲面的交线称为坐标曲线，相应的坐标系秘为曲线坐标系。出式7知175)dr=du,n.,式中(7.6)nr=or/au,=(on,/ou.Je:是在Pr）点的地方坐标基矢，而，是笛卡儿坐标系中的基失。定义dri drirsor.igdr2hi=n..n.()(t (ot)onrm,in)
21则雅可比！Ju（h）短阵，满足hhi( (-hsl据.1ixI加小若在空间中任点"处的地方坐标基久相正交，则h...h.a1731式中ir(at:+f$r.h一 =;Bnon.tm,un称为拉梅(Iinur)系数，h:1111(I(/-:)4J-1fi7 11)IfIh因而1d.f =(7 12](hhahp满足正交条件！，！的曲线坐标系称为交曲线坐标系。在正交出线坐标系中，无限按近的两点之间的距离的平方为d*+dy+dhdu-+hdu+hdus(7 13)可见，拉梅系数是止交即线坐标系的度规因了，它说明当曲线坐标政变为i，时，沿着坐标出线儿方向的弧元为dthdn:(711)在坐标出面上对应的面积元为17 15)（1.），人）是（【28）闪正循环da,=h,ntrjdu.相成的体积元为(716)ch-hhhgniduedng
25值得指出的是，仪满足正交条件的地方坐标基矢，不一定是单位矢最。出士n.=,可知在空间中任一点处的地方坐标单位基矢1，为！47171i,习题17！设任一·失量在直角坐标系、杆坐标系和球坐标系中的表达式为A二fH（=4u+11Et uAen+oc证明各坐标分量按下式变换sineIAt.(I.(105 0SCe(I(()aLsm tco tsumo(t)16t-ctet:r:slc2在托坐标系与球坐标系中，用函数友示下列电荷分布a均匀分布子半径的平面圆盘上的电荷）均匀分布于半径为的细圆环上的电荷（。3方程=“+定义了一·椭球族。求椭球表面上任一点的外法向单位失量。！.正交曲线坐标系中的微分运算在止交册线坐标系中、张母场！：的梯度厂！、旋度一×！