6定义张量关于指标（:，2)的对称部分与反对称部分Tu1)in=(Ti121sn+Ti2ilign)/2(2.6)Tri2is-t,= (Tlsi.-Ti2iin)/2则(2.7)Tjiaig..n=T(:1raltn+Tiiajigi.可见，任意二阶张都可表为一个对称张量与一个反对称张之和。对于更高阶张量，会出现混合对称情形；同样，任一张量都可以按其指标的对称性质（包括对称、反对称与混合对称各种不同的情形）加以分解。习题1.21.若Ti是一个二阶张量，b，是一个失量，则ai二Tb，也是一个矢量。2.若at是一个失量，证明8a./0，是一个二阶张量。3.若S是一个二阶对称张量，A是一个二阶反对称张其，则Si,A二0。1.证明二阶张量的对角分量之和是一个标量。5证明2()=@V2+2Vo.V+72u式中中与是三维标量。91.3物理量在空间反演变换下的进一步分类坐标系的空间反演变换P由下式定义(3.1)二- = 1.2.3它不是连续变换，并改变了坐标系的左、右旋性质。在上述空间反演P下，若n阶张T的诸分量按n个坐标乘积的变换规律变换，即(3.2)Ti2=(-)"Tan
7则T是真正的张量，简称张量（当n=1时又称为极失量；若在空间反演P下，n阶张量T的诸分量按下式变换(3.3)Ti =()n+I则称为质张量（当n=1时又称为轴量）。在经典场论中的场的状态以及量子力学中的粒子状态（称为波函数）都用空间坐标的某一函数）来描述，它可按照在转动变换与空间反演变换下的变换性质分类而属于某种张量场，这时空间反演变换下需乘的附加因了切二（-1称为粒了或场的空间宇称。常见的各种张量及其空间宁称为np（标量）=+1，np（惯标量）=—1p（（极）欠量）=-1，Wp（轴矢量）二+1lp（二阶张量）=+1，np（二阶质张量）=-)若张量Tit2i，在空间坐标变换（1.1）下满足(3.1)Ti: an(r')=Tin in(r)则称为不变张量。例31不变失量是零失量。例328，是一个二阶对称张量，而且是不变张量。这个不变张量是欧氏空间中的度规张量。事实上，若在一个天量空间中由下式ds2 =idr,dr(3.5)定义了两个无限接近的点之间的距离的平方ds3，则失量空间V便成为一个度规空间，而gt，称为度规张量。由于dr;dr，=dr,r，的反对称部分对d.2的贡献为零，故g只须取为对称张量。由于两点之间的距离与坐标系的选取无关，定义式3.5）在不同坐标系中应具有相同的形式，故9应是不变张量。若取g=b·则(3.6)ds=,drdr,=di,dr,它正是欧氏空间中的距离公式（1.3）
X让下术定义的27个分量1若1..k为（！.2.3）的正循环门(3 7)若(3.k)为(12.3）的逆循环fuyh0其余情形的全体称为三阶全反对称张量(3.8)(ak-t(k)注：由(12.3)经变换1-*2.2→3.3一1逐次生成的结果称为(1.2.3)的正循环；而由(1.2,3)经变换1一3.3→2.2一1逐次生成的结果称为（1.2.3）的逆循环。由定义知，5是不变张堪。容易看出，欧氏度规张量在空间反演P下仍是张量。但三阶全反对称张量则是质张量。此外，可以验证，三阶行列式可由下式展开专.1.42.1:53:detB32B:3(3.9)=(tl,B,Ck(1(?C3因此，若，为二阶张量，则以a为短阵元的3×3短阵的行列式为(11a12at's(3.10)Hel(ut,) - det(12)022423= Eimniidynts..31r:320:3有类似地，a,1a2ai3dct(3.11)=(innauumatn=itjtdet(am)ng!(y2(j3(ki042a+3与a1ta20.3?det(imnllidnyunx=tnkdet(am)(3 12)01212]13)(a2ku3kIIR
9令=b，则10.1b:203/ 01i52ibar615o,1bj3= det82363j(3.13)(gx = del.6j202bi3bnkfi2kbakhes由此得/ 5a16i2(1nbrs/011b1mdetb2b2mdetcs*,262n3;3Erefimt.i3n6x10元2rgtb3mok3/ 5,om:hutdet(3i4)hg!djmt.De!ot1CkTn继而有otlOanbitoim-OamOgt(3.15)trt(imk=dettgibym以及(3 16)Eugkfyk = 3!tsykftgk=2lba.例3.3试证，正交坐标系S中的三阶全反对称张量满足(3.17)±±(×e)k式中主分别在右旋系与左旋系中适用，而，是相应的相互正交的基失。证明：正交坐标系中的基矢满足关系(3.18]o, xe, =±ck式中（.J.）是1.2.3的正循环，当S为右旋系取正止号，若为左旋系取负号。于是，在右旋系中有e1ese2AA2A3A ×B = delBtB2B3.41A2A3Ri113(A× B)C = de1132(319)C(Cs
10而相应的计算公式在左旋系中则为0;e2ea.4:12A ×B=-detA:BiB2B:sA1A24313:132H3(A × B) C = -det(3 20(1C2(s式中A、B与C是任意的三个矢量。在S系中运用展开公式！3.9)可得(3.21)(A,ei×B,ej).Csex=±A,Bj(tGnk式中土分别在右旋系与左旋系中适用。出于.1.B,C是任意的，因而上式两边^，B，（的系数必然相等，此即所证。例3.1试证，由式（3.3）定义的27个分量组成一个三阶张量。证明：不失普遍性，可在右旋正交系中工作。注意到坐标转动变换可写为e =ne,1,3 = 1.2.3可知u41-2a,?yx = (er × eg) ex = detam21.a+k2ti+3即tg=aeouen Hmr可见是3阶张量。例35试证：（a）三维欧氏空间中任一不变的二阶张量与成正比（b）任一不变的三阶张量与f成正比（）任一不变的四阶张量与（0++0）成止比。证（c)：设在转动前后的坐标系S与S中，四阶张量73n满足rk!=fimoa,alsaa/nnre=Tjt!