1第一章三维欧氏空间中的张量张量代数与分析是电动力学的数学基础。本章先叙述三维欧氏空间中的张量在空间转动与反演变换下的变换性质与分类，然后讲述张量代数运算与分析运算的基本规律，最后介绍关于矢量场的亥姆霍兹定理以及在曲线坐标系中的矢量运算。31.1正交坐标系的转动1217在三维空间中由交于一点一?0且不共面的三条射线（坐标轴）r（=1.2.3）构成一个坐标系S。若r，轴的方向矢最为ox，则当(b)(a)er·e=i时，称S为正交坐标系。若（x1>U，称为右旋坐标系：若（×）<0,图【坐标家：（旋；【左旋则称S为左旋坐标系。三维空间中的点P出它在止交坐标系S（为确定起见，设它是右旋系）中的三个坐标（，"2.3）确定。现将S绕O点作一有限转动，得到另一新的正交右旋系S，P点在S中的坐标为（.）。在欧氏空间中，这两组坐标满足线性关系1=1.23(1 1)t,=arr式中一对重复指标，表示从1到3求和.3ayt,=Zawf.:i=12.3(1 2)J=:
2方程或关系式中的这种重复指标称为一对哑指标。哑指标必须成对；每对哑指标可以改用其它字母表亲；但不同对的哑指标必须使用不同的字母，以免混淆。在方程的某一边或关系式中不成对的指标，如式（11）中的，称为显指标。显指标不可随意更换，且方程两边的显指标必须相同。在欧氏空间中，O、P两点之间的距离LL= VF2g2=sar(1.3)与坐标系S的转动无关，故7'2 = ±2(1.4)由此得(1 5)agaik 二k写成短阵形式即Ta=(1.6)式中！是，×3单位矩阵，αr表示矩阵的转置。可见三维转动变换矩阵α是正交矩阵，即aT=α-l。因而n0*=1(1.7)写成分量形式有(1.8)aylk = bgk进而，失径OI的大小与方向都与坐标系S的转动无关L0,=re(1 9)式中e与e分别是坐标系S与S'的相应坐标轴的方向失量。由此易知(1.10)C,=eay写成矩阵形式即=0l(1 1)对上式取转置并左乘a得=ae(1 12)
3写成分量形式即(1.13)e, =arjes最后指出，坐标变换中的系数订可以写成arax(1.14)1=ar:d,习题111.写出矢量诸分量在下列情况下的变换矩阵：当笛卡儿坐标系绕2轴转动角度时。答案：0cosasir.o0R,(α)=sinncosa001式中的读数方内与z轴的方向满足右手螺旋法则。2.设坐标系绕之轴转α角，再绕新的轴（即原来的，轴在第一次转动后所处的位置）转8角，最后绕新的之轴（即原来的。轴经第一、二次转动后所处的位置）转？角：这三个角称为欧拉角。试用三个转动矩阵相乘的办法求矢量诸分量的在坐标轴转动时的变换矩阵。答案：R(,3.) = R)R(3)R(o)c05t057-suoc5.sinsinocos+cosacossinststnySncs8osinusincosacoserussinnun!oststns20s33.设z、au与口，是矢量a的笛卡儿分量，则1(a±ia)ao=aza±=V2称为失量a的循环分量。设坐标轴的转动由欧拉角表示，试写出失量诸循环分量在坐标轴转动时的变换矩阵
4答案：(1 + cos 3)ea+)ae-号(1-cos)e-(-)sinBe'osin810Dia. 3. ) =ccsd+(1+co5Pe-(o+)--(os)(a-g-4.试证坐标系作无限小转动的变换矩阵可写成α二1十，其中是反对称矩阵，而I是二阶单位张量，并指出C，的几何意义。提示：利用=+与=引人量，使50：=fE/2，即使得r=+5×r，由此分析6的物理意义。$1.2物理量在空间转动变换下的分类在某一给定时刻测量的一个局域物理量是三个空间坐标1：的一组函数f(r）n=1、，N，称为定义在三维欧氏空间中的场。它们可按其在空间转动下的变换性质加以分类。若量(r）只有一个，且在坐标系的空间转动变换（1.1）下不变，即满足@(r) =Φ(r)(2.1)则称(r)为标量。若三个量A（r)=1.2.3在空间转动变换（1.1）下像坐标，那样变换，即满足or,Aj(r)(2.2)A(r') = a A,(r) =OT则这组量A(r)l=1,2.3称为矢量，记为A(r)，A.(r)是A(r)的第i分量。若九个量T,(r）:=123在空间转动变换（1.1)下像两个坐标分量的积，，1，=,2.3（共有4个这样的积）那样变换，即满足ar OxTim(r)(2.3)Ti;(r)=aiagmlim(r)= r:arm
5则这纸堆1(r)J=1.2.3称为二阶张量T(r)，T,(r）是二阶张本T(r）的第（ij)分量。类似地，若3n个量T121.(r)s,2=1.3.3在空间转动变换（1.1)下像个坐标分量积+2+2.tlt1*2=1,2,3（共有3"个这样的积）那样变换，即满足l.(r')=diidiatuaTi-j.(r). 02a T3 (r)ort, art.(2.4)Oadryda.则这组量T:112in(r)hi,i2n=1.2,3称为n阶张量T(n)(r)。其中，T,t，t,(r）是Tin(r)(阶指标n常省去）的第（iji2·in）分量；当未指明张量各指标的值时，T13,（r）实际上是张量各分量的代表元，为表述简捷起见，也将此代表元称为张量。此外，由张量的定义知，标其是岑阶张量，矢量是一阶张量。例2.1试证0；=9/81，是三维矢最。证明：由链式微分法则得ora=a.泌=dr证毕。例2.2试证3，是三维欧氏空间中的二阶张量。证明：由式（113)得ee=atagmCCn此郎Cu=anaimOtm证毕。若张量7i13，满足(2.5)Ti2+1t3n=±liitin则张量T分别称为相对于指标（1.12）是对称的或反对称的