兰州大学：《矩阵理论》第三讲 Jordan标准形

Jordan标准形( Cont i nue) 用初等变换法求 ordaz标准形的步骤 用初等变换化特征矩阵(M-A)为 Smith标准形,求出不变因子 d(),(i=1,2,…,n)(det(n-A)不恒等于0) 2.将次数大于0的不变因子d()分解为互不相同的一次因式的幂 的乘积 d,(1)=(2-41)y(2-2)y2…(2-xn) 写出(Ⅰ-A)的全部初等因子 1(4) ( A1),…(2-n),(-22)2,…(-22n)2…,(2-2n) ni 其中 =1 可能相同 萬m六字信息科学与工程学院矩阵理论第3游-16

信息科学与工程学院 矩阵理论第3讲 - 16 Jordan标准形（Continue） • 用初等变换法求Jordan标准形的步骤 1. 用初等变换化特征矩阵 为Smith标准形，求出不变因子 （ 不恒等于0） 2. 将次数大于0的不变因子 分解为互不相同的一次因式的幂 的乘积 写出 的全部初等因子： 其中 d ( ), (i 1,2, ,n) i  =  () di i ir i i i t i r t i t di i ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2  =  −  1  −  2   −  r n n r r n t n r t n t r t t r t 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 ( ) , ( ) ,( ) , ( ) ,( ) , ( )  − 1 1   − 1  − 2 1   − 2   −  1   −  (I − A) (I − A) ( ) d1  ( ) d2  () dn  =  = + + = n r j nj r j t j t n 1 1 1 1  可能相同 det(I − A)

Jordan标准形( Cont i nue) 3.写出每个初等因子(元-1)对应的 ordan块 1 0 2 ∈F 00 00 4.以这些 ordan块构成的 Jordan矩阵 S() ∈C 即为方阵A的 Jordan标准形 萬m六字信息科学与工程学院 矩阵理论第3讲-17

信息科学与工程学院 矩阵理论第3讲 - 17 Jordan标准形（Continue） 3. 写出每个初等因子 对应的Jordan块 4. 以这些Jordan块构成的Jordan矩阵 即为方阵A的Jordan标准形 ij t ij ( −  ) i t t i i i i j J F i n j r ij ij 1, , 1, , 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0       = =             =                        = = =  n i i n i i n r r n r n C J J J S 1 1 1 1 1 ( )   

Jordan标准形( Cont i nue) 初等变换法求矩阵的 Jordan标准形举例(1) 403 1+10 0 a-A=-1-20 1x-20 /(3×(+1)+1) 402-3 (4-1)2 0 0 40k3+3)-12-20 02-2 /(3×(-1) (2-1) 00(2-1) 萬m六字信息科学与工程学院矩阵理论第3游-18

信息科学与工程学院 矩阵理论第3讲 - 18 Jordan标准形（Continue） – 初等变换法求矩阵的Jordan标准形举例(1)           − − = 4 0 3 1 2 0 1 0 1 A           − ⎯⎯ ⎯→ − −           − − − − ⎯⎯⎯ ⎯→           − − − − − ⎯⎯⎯ ⎯→           − − − + − − =  −  − +  + + (1,3) 2 (3 ( 1)) 2 (1 ( 3) 3) 2 (3 ( 1) 1) 0 0 ( 1) 0 2 1 1 0 0 ( 1) 0 0 1 2 0 0 0 1 ( 1) 0 3 1 2 0 0 0 1 4 0 3 1 2 0 1 0 1              I I I I I A