兰州大学：《矩阵理论》第三讲 Jordan标准形

Jordan标准形( Cont i nue) 不变因子 称A()的 Smith标准形中非零的对角线元素 (),(i=1,2,…,r) 为A()的不变因子 规定:d()=0F<i≤n 初等因子 将次数大于0的不变因子d1()分解为互不相同的一次因式的幂的 乘积(在复数域内,这样的分解是可能的) d,(1)=(4-n1)1(-A2y2…(-n) 称(-1)j=1,…,为A(2)的一个初等因子 不变因子和初等因子的性质 多项式矩阵经过初等变换后,其秩、不变因子、初等因子均不变 萬m六字信息科学与工程学院 矩阵理论第3讲-11

信息科学与工程学院 矩阵理论第3讲 - 11 Jordan标准形（Continue） – 不变因子 称 的Smith标准形中非零的对角线元素 为 的不变因子 – 初等因子 将次数大于0的不变因子 分解为互不相同的一次因式的幂的 乘积（在复数域内，这样的分解是可能的） 称 为 的一个初等因子 – 不变因子和初等因子的性质 • 多项式矩阵经过初等变换后，其秩、不变因子、初等因子均不变 A() A() d ( ), (i 1,2, ,r) i  =  () i d i ir i i i t i r t i t di i ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2  =  −  1  −  2   −  i t ij j r ij ( −  ) =1,  , A() 规定: di () = 0 r  i  n

Jordan标准形( Cont i nue) 例 求多项式矩阵 +12-1 22+12+2-1-22 的 Smith标准形和不变因子 解 12元-1 A(4)-(s0 12+2-1-2 萬m六字信息科学与工程学院 矩阵型论第3讲-12

信息科学与工程学院 矩阵理论第3讲 - 12 Jordan标准形（Continue） 例： 求多项式矩阵 的Smith标准形和不变因子 解：           + + − − − − + − = 2 2 2 2 1 1 1 2 1 ( )           A            + − − − − ⎯⎯ ⎯+ → 2 2 2 (3 1 1) 1 1 0 1 2 1 ( )         I A

Jordan标准形( Cont i nue) 12x-1 (1×(-1)+3) 02 I(1×(-2A+1)+2) 022-2-2-4 (1×(-)+3) 022-2-22- 1(2x)+)02-元 /(2()+3) 0-2- 00-x2-1 0 0 /(3(-1) ( 3) 00- 00a2 ≈② 萬m六字信息科学与工程学院 矩阵型论第3讲-13

信息科学与工程学院 矩阵理论第3讲 - 13           + ⎯⎯⎯→           − − ⎯⎯⎯ ⎯→           − − ⎯⎯⎯⎯→ −           − − ⎯⎯⎯⎯→ −           − − − ⎯⎯⎯⎯⎯→ −           − − − − − ⎯⎯⎯⎯→ − + +  − +  − +  − + +  − + 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 1 2 (3( 1)) 2 2 2 ) 3)) 1 ( (2( 2 2 ) 3) 1 (2( 2 (2 ( 1) 3) 2 2 2 2 (1 ( ) 3) (1 ( 2 1) 2) 2 2 (1 ( 1) 3) 2                              I I I I I I I I Jordan标准形（Continue） ( ) ( ) d2  d3 

Jordan标准形( Cont i nue) 12 /(1×(-1)+3) /(3×1+1) 22+2-1-x2 12x-1 02 02 02-1-2- /(1×(-)+3) 0x2--2-2 100 00 (24-1)+)02-元 0-2 (2,3) 0-4-2 0-x2-元 萬m六字信息科学与工程学院矩阵理论第3游-14

信息科学与工程学院 矩阵理论第3讲 - 14           − − ⎯⎯⎯→ −           − − ⎯⎯⎯⎯→ −           − − − ⎯⎯⎯⎯⎯→ −           − − − − − ⎯⎯⎯⎯→           + − − − − ⎯⎯ ⎯→  − +  − +  − + +  − +  +                                 2 2 (2,3) 2 (2 ( 1) 1) 2 2 2 2 (1 ( ) 3) (1 ( 2 1) 2) 2 2 2 (1 ( 1) 3) 2 2 2 (3 1 1) 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 1 1 1 0 1 2 1 ( ) I I I I I I A Jordan标准形（Continue）

Jordan标准形( Cont i nue) 00 0 /(2×(-1) 04-22 020 23-元 100 0 (3×( 0x0 (2×+3) 00-23-2 00x3+2 Smith标准形 不变因子:a4(4) d2() dl3(4) 萬m六字信息科学与工程学院矩阵理论第3游-15

信息科学与工程学院 矩阵理论第3讲 - 15 Jordan标准形（Continue）           + ⎯⎯ ⎯→           − − ⎯⎯ ⎯→           − − ⎯⎯⎯⎯→ −           − − ⎯⎯ ⎯→ −  −  +  +  −                 3 (3 ( 1)) 3 (2 3) 3 (2 ( ) 3) 2 2 2 (2 ( 1)) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 I I I I Smith标准形 ( ) d1  ( ) d2  ( ) 不变因子： d3 