2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 (x+1)2-1~ax(∈R sInd-xn--x (2.13) 注:(1)以上等价关系可在广义下应用,即等价关系中的x在应用中常换为满足 lima(x)=0的某个a(x)。 (2)在极限运算中,可以用等价价无穷小量进行替换,但必须注意,替换只能在因子位 置上进行,因等价无穷小量是用因子乘积a(x),定义的。非法替换是常见错误 B(r) 2.7连续函数概念 连续函数的概念包括两个方面,首先是函数在一点处连续的概念,主要是用来刻画函 数在一点及其附近的局部情况或微观性态;其次是函数在区间上连续的概念,主要是用来 刻画函数在大范围内的全局情况或宏观性态。而所有这些概念都将是进一步研究函数性质 的必备基础。 2.7.1函数在一点连续的概念 定义3.6设函数y=f(x) (1)在x的某邻域N(x0,6)={x|x-x<6,6>0}内有定义 (2)极限limf(x)=A存在; (3)A=f(x0) 则称函数y=∫(x)在x处连续。以上三条见可称为函数在一点连续的三要素,缺 不可。又若y=f(x)在[a,b上或(a,b)内的任意一点处都连续,则称函数y=∫(x)在 a,b上或(a,b)内连续。 y=f(x)在x处连续的直观意义是,当△=|x-x|任意小时, A(x)=f(x)-f(x0也可以任意小。 对初等函数而论,连续性的重要结论是:一元初等函数在其定义域内部的任意区间内 都是连续的。 函数在一点连续的定义可有以下两种等价性描述 等价性描述1;设函数y=f(x)在x的某邻域N(xn,6)={x0<x-x<,6>0}内 有定义,并且满足f(x)=∫(x0)+a(x),其中a(x)为无穷小量(x→x0)。则称函数 y=∫(x)在x处连续 等价性描述2:设函数y=f(x)在x的某邻域N(x,6)={x|x-x<6b>0内有定 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:6278178
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 x λx λ ( 1 + 1) − ~ （λ ∈ R） (2.12) 3 6 1 sin x − x ~ − x （2.13） 注：（1）以上等价关系可在广义下应用，即等价关系中的 x 在应用中常换为满足 lim ( ) 0 ( ) = → ⋅ x x α 的某个α(x) 。 （2）在极限运算中，可以用等价价无穷小量进行替换，但必须注意，替换只能在因子位 置上进行，因等价无穷小量是用因子乘积 ( ) ( ) x x β α 1 ⋅ 定义的。非法替换是常见错误。 2．7 连续函数概念 连续函数的概念包括两个方面，首先是函数在一点处连续的概念，主要是用来刻画函 数在一点及其附近的局部情况或微观性态；其次是函数在区间上连续的概念，主要是用来 刻画函数在大范围内的全局情况或宏观性态。 而所有这些概念都将是进一步研究函数性质 的必备基础。 2．7．1 函数在一点连续的概念 定义 3.6 设函数 y = f (x) （1）在 的某邻域 x0 ( 0 , ) { , } N x0 δ = x x − x0 < δ δ > 内有定义； （2）极限 f x A 存在； x x = → lim ( ) 0 （3） ( ) x0 A = f 则称函数 在 处连续。以上三条见可称为函数在一点连续的三要素，缺一 不可。又若 在 上或 内的任意一点处都连续，则称函数 在 上或 内连续。 y = f (x) x0 y = f (x) [a, b] (a, b) y = f (x) [a, b] (a, b) y = f (x) 在 x0 处连续的直观意义是， 当 0 ∆x = x − x 任意小时， ( ) ( ) ( ) 0 0 ∆f x = f x − f x 也可以任意小。 对初等函数而论，连续性的重要结论是：一元初等函数在其定义域内部的任意区间内 都是连续的。 函数在一点连续的定义可有以下两种等价性描述： 等价性描述 1：设函数 y = f (x) 在 x0 的某邻域 ( 0 , ) { 0 , } N x0 δ = x < x − x0 < δ δ > 内 有定义，并且满足 f (x) = f (x ) +α(x) 0 ，其中α(x) 为无穷小量（ ）。则称函数 在 处连续。 x → x0 y = f (x) x0 等价性描述 2：设函数 y = f (x) 在 x0 的某邻域 ( 0 , ) { , } N x0 δ = x x − x0 < δ δ > 内有定 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 6 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 义,引入记号A=x-x,Ay=M(xn)=f(x)-f(x0),若有mAy=0,则称函数 y=∫(x)在x处连续。 以上两种等价描述常常成为判断函数在一点处连续的手段。。 定义2.7若满足lim∫(x)=∫(x),则称函数∫(x)在x处为右连续,而满足 im∫(x)=∫(x0)时,则称函数∫(x)在x处为左连续。 于是,判断函数在一点处连续的方法还有以下定理 定理28函数y=∫(x)在点x0处连续的充要条件是:limf(x)=f(x0)且 imf(x)=f(x0)。 或描述为:在一点处连续的充要条件是在该点处左连续,且右连续 定义28对函数y=∫(x)不连续的点,称之为∫(x)的间断点。对间断点做如下分类 当单边极限lim∫(x)与lim∫(x)都存在却不连续时,称x为第一类间断点。其中满足 imf(x)=limf(x)的间断点,称之为可去型间断点 可去型间断点的可能情况是:lim∫(x)=limf(x)≠f(x)或∫(x0)无定义, 而使得lim∫(x)≠lim∫(x)的第一类间断点又常称为跳跃型间断点 除去第一类间断点以外的所有间断点统称为第二类间断点。其中使得lim∫(x)=的 点称为无穷间断点;当x→x时,∫(x)正负交替取值或大小交替变化取值的点称为震荡 间断点 2.7.2函数在一点处连续的性质 性质1若函数y=∫(x)在x处连续,则f(x)=f(x)+a(x),其中lma(x)=0。 性质2(保号性)若函数y=∫(x)在x处连续,并且f(x0)>0,则存在x0的某邻域 N(x,6)={x|x-x<66>0},使得当x∈N(x,6)时,恒有∫(x)>0 性质3(有界性)若函数y=∫(x)在x处连续,则存在常数M>0与x的某邻域 N(x0,)={x|x-x<6,6>0,使得当x∈N(x,6)时,恒有(x≤M。 即∫(x)在某N(x0,6)内有界 注:性质1可以使得对连续函数极限的计算大为简化(变为简单的函数值计算);而性质 称为连续函数的保序性或保号性,在后续内容学习中,这对函数的性态研究以及积分的保 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com -7-清华大学理科楼1101电话:6278178:
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 义，引入记号 ∆x = x − x0 ， ( ) ( ) ( ) 0 0 ∆y = ∆f x = f x − f x ，若有 0 0 ∆ = ∆ → y x lim ，则称函数 y = f (x) 在 处连续。 x0 以上两种等价描述常常成为判断函数在一点处连续的手段。。 定义 2.7 若满足 ，则称函数 在 处为右连续，而满足 时，则称函数 在 处为左连续。 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → + f (x) x0 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → − f (x) x0 于是，判断函数在一点处连续的方法还有以下定理 定 理 2.8 函 数 在 点 处 连 续的充 要 条件是 ： 且 。 y = f (x) x0 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → + lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → − 或描述为：在一点处连续的充要条件是在该点处左连续，且右连续。 定义 2.8 对函数 y = f (x) 不连续的点，称之为 f (x) 的间断点。对间断点做如下分类： 当单边极限 与 都存在却不连续时，称 为第一类间断点。其中满足 的间断点，称之为可去型间断点。 lim f (x) x x → + 0 lim f (x) x x → − 0 0 x lim f (x) x x → + 0 lim f (x) x x → − = 0 可去型间断点的可能情况是： = → − lim ( ) 0 f x x x lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x ≠ → + 或 ( )无定义， x0 f 而使得 lim f (x) 的第一类间断点又常称为跳跃型间断点。 x x → + 0 lim f (x) x x → − ≠ 0 除去第一类间断点以外的所有间断点统称为第二类间断点。其中使得 的 点称为无穷间断点；当 时， 正负交替取值或大小交替变化取值的点称为震荡 间断点。 = ∞ → lim f (x) x x0 x → x0 f (x) 2．7．2 函数在一点处连续的性质 性质 1 若函数 y = f (x) 在 x0 处连续，则 ( ) ( ) ( ) 0 f x = f x +α x ，其中 lim ( ) 0 0 = → x x x α 。 性质 2（保号性） 若函数 y = f (x) 在 x0 处连续，并且 f (x0 ) > 0 ，则存在 x0 的某邻域 ( , ) { , 0} N x0 δ = x x − x0 < δ δ > ，使得当 ( ,δ ) x ∈ N x0 时，恒有 f (x) > 0 。 性质 3（有界性）若函数 y = f (x) 在 x0 处连续，则存在常数 M > 0 与 x0 的某邻域 ( , ) { , 0} N x0 δ = x x − x0 < δ δ > ，使得当 ( ,δ ) x ∈ N x0 时，恒有 f (x) ≤ M 。 即 f (x) 在某 ( ,δ ) N x0 内有界。 注：性质 1 可以使得对连续函数极限的计算大为简化（变为简单的函数值计算）；而性质 2 称为连续函数的保序性或保号性，在后续内容学习中，这对函数的性态研究以及积分的保 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 7 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785