§3.实数的算术运算 21 而依和的定义 a+y>f1+e, fa+e>B+y 比較这些不等式,我們就得出所需的精論 这样就加法来說,实数域具有一切基本性贺I°—5°,有理数的 这些性贺在3內已早叙泷过了。由此可知,从这些性貿得出的一切形 式腿輯上的推論对于实数也都成立。持别对于实数我們能逐字重逃3 內所叙逃的紧跟在第二組性貿后面的一切性質,钼能証明数a及β的 差α一β的存在及其單值性,井能建立数a的粞对值(我們保持祀法 a)的概念,等等。 14.实数的积的定义現在轉向实数的乘法,先只講正数的乘法。 設巳袷二正数a及β。我們在此也先考察滿足不等式(1)的一切可能 的有理数,这些数也假定是正数。 位于一切形如ab6的积与一切形如ab的积之間的实数y a<γ<ab ( 称为及B的积,成a 要誑明这种数γ的存在,我們取一切可能的积a所成的集,这集 被任何形如ab′的积囿于上。若假定 y=8upab) 則当然有ab≤γ但同时又有γ≤ab 因为我們常可将数a,b燴大,或是将a',b减小使得(3)仍能滿足 (如在和的情形一样,因此在a≤及y≤ab中实际上不能成立等 式,故数》滿足积的定义。 由下面的論断可推得积的唯一性。依在9内的附注,选取有理数 及b,b’使 d’-a<e及bb< 式中的e是任意小的正有理数。这时数a及b算作是正数,而数a及 b各不超过某些預先固定的数a及b。則差 ab-ab=a(6-6)+bCaa<(aboe 博士家园论坛.流星
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精实数 郎也能为任意小,依預备定理2,这便足以誑实仅有一数γ可以滿足 不等式(3)。 若正数a及B都是有理数,則它們通常的积y=aB显然滿足不等 式(3),即与二实数积的一般定义拌无孑盾。 最后,为定义任意(不一定是正的)一对实数的积,我們先作如下豹 定 首先豹定,不論a是怎样的实数,常有 a.0=0·=0, 若二乘数都异于0,則根据通常的“符号規則”置: aB=|a|-|A,当与6同号时, a月=-(1a]·|81),当a与B异号时。 (我們已經知道正数|a及|B|的积指的是什么。 假若我們希望实数运算能具有有理数运算的一切基本性貿,那末 这些豹定有如我們在4内是到过的,对于我們在某些意义上是必需的。 15.乘法的性質如同在有理数的情形一样,对于任何实数仍保 持以下性質: III°a·B=B·c; II29(a·B)y≈aBy; III3°a·1=a 証明第二式作为例子,先从三数a,B,Y都是正数的情形开始。設 aa,b,b',c,c’是任意的有理数,滿足不等式 0<a<α<a,0<b<β<砟,0<c<γ< 則依二实数的积的定义,有 ab<aβ<四'b及be<βy<b 再应用这一定义,又得 ⑩注意,若取e<a+b,则a+b)e便可小于任意小数e">n 博士家园论坛流星 -二
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§3.实数的算术运算 (ub)c<(aB)y<('b')c及 <aBy)<a(b'c) 因所証的性質I2°对于有理数是已知的,故实数(∞B)γ及 a(y)都位于同样的界限: (ab)=a(bec)与(a'b)e'=a'(b'c)之間, 归很易証明,因乘数α与',b与b,与￠間都很接近,因而得 出积的差abe’-abe可为任意小在这时,可以应用与!内有关二乘 数之积的相似的論証)。由此,侬預备定理2,可知数(a)y与a(By) 相等 当a,月,y不全为正数时,只須注意到“符号规則”,便可立刻得出 粘果。又若数a,B,γ中至少有一数等于0,則两个积都化为0。 現在講性貿: °对低是于的突数必有倒数a存在,满足条 件: 这里只要誑无理数④的情形便够了。先設d>Q 若a由分划A所确定,則我們可用下法构成对于数1的分 划。我們把一切負的有理数,,以及一切形如的数归人下粗A,此 处是4組的任何数;把一切形如的数赦在上粗内,此处a是 A租内的任何正数。容易說明,这样,实际上我們巳得出一个分划,它 确定出一正的实数(在現在的情形是无理数);这数記成1 我們託明,它滿足所霱要的条件。由上面所逃倒数的构作法以 及乘积的定义可知,数1是咱一的实数,位于形如与“的二数 之間,此处a及d是滿足不等式a<a<的正有理数。但数1也位于 上逃两类数之間 博士家园论坛流星
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精实數 1<“, 故它是所求的积。 若a<0,則假定 c 于是依“符号規則” ◆ 当我們証明了实数域也具有关于乘法的一切基本性賀I1-4° 以后,显然可知,这数城也保持着在4内所逃的一切性貿,郎关于数a 及β的商(在R≠0时)的存在及唯一性等。 分配性 II5°(a+月)·y=a·y+8·y 对于任何实数亦成立在正数的情形(如証明I2°那样)这很易誑明。 所有其他的情形可以用等式两边均变号的方法,或由一边移項到另一 边的方法化为这个特别情形。但是数aB,y,(a+B)中之一等于零的 情形井不在內;对于这种情形,等式的成立是并常明显的。 最后,还有性賀 I6°由>B及y>0推得a>B, 其核驗拌无因难。不等式∝>β相当于a-B>0;依“符号規則”有 (a-月)y>0。但乘法也有关于差的分配性,故知ay-6y>0,而由 此即得a·y>…y 16、结论最后,还要講一講《阿基米德公理》: IⅥ1°对不論怎样的实数y,必有大于?的自然数在。 这公理的核驗是很容易的:因在确定数y的分划CC"的上租内 必能找到大于它的有理数c而这公理对于有理数c是成立的。 現在可以說我們已铿証明了下逃事实:在实数域中,初等代数学 太关于四則运算及等式与不等式运算的規則仍旧完全雞持不变 博士家园论坛流星
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§3.实数的算术运算 17.鹅对篚因以后的需要特再附加一些关于粑对的附注 首先証明不等式:|a<6(此处当然有B>0)相当于二重不等式: β<a<β 实因,由c!<月推得a<β及-a<月(即a>-6)同时成立。反 之,若已耠定a<B及a>-B,則必同时有:a<月及一a<;但在a 及一a中有一为|a|,故1a}<月 仿此,不等式 ≤B与_B≤a≤8 显然是相当的。 再証明有用的不等式 a+β≤la,+1B 逐項地桕加两个显明的不等式: a≤≤a]及-|}≤≤|β|, 得 (a!+A:)≤a+6≤|a|+|8| 由此,依据上遽的附注,即得所求的不等式。 用数学归法可以把它推广到任意个加数的情形: a+β+…+y1≤|a!+|+…1 若在已証明的不等式内把月換成一月,則得 ax-l≤la}+|B 因a=(a+)-8,故1a≤{ax+B+|6或 a+β|≥{a|-|| 同样 a-B1≥;a-1月 因为同时 B|一|a;≤|a-月 所以显然 !|al-|β|≤!a-β1 所有这些不等式在極限論内都是很有用的。 博士家园论坛流星
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