斜論实数 §4.实数的其他性質及应用 18.根的存在·以有理数为指数的幂由实数乘法(及除法的定 义,也如通常一样,可直接导出以i(及負)整数为指数的幂的定义。在 轉向一般的有理指数幂以前,先叙濾一下关于根的存在题。 我們还祀得,在有理数域内,即使是極簡單的根数也井不存在,这 事实已被作为扩充有理数城的根据之一,現在再来考查一下,这种缺陷 在扩充后的数域中(但不进行更进一步的扩充)得到如何程度的补救。 ∝是任一实数,”是自然数 众所周知,实数E称为数∝的W次根、若 我們限定∝是正數,并将求得满足于这关桑式的正数§,就是所謂 根的算术值。我們将证明这种永远存在,且仅有一个。 关于§的唯一性这一点,可立刻推得,盖因对成于不同的正数各 有着不同的幂之故:郎若0<<,則"<。 若有这样的有理数r存在,它的n次幂等于a,則它就是所求的数 6。因此,以后我們只须討論这种有理数拌不存在的情形就成。 今在一切有理数域内用下列方法构成一个分划K|Xx。取一切負 有理数及零,取合于x<a的正有理数x,归入X組。取合于a">a 的一切正有理数w归人x組。 很易看出这两粗都非空集,且X内还包含着正数。例如,若取自然 数m,使合于<a<m則当然成立<a<m”于是可知数屬 于x,数m屬于x。 关于分划的其他条件显然也都满足。 今設ξ是由分划XiX′所确定的数;我們將証明张=,朗§ 博士家园论坛流星
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§4.实数的其他性賓及应用 把6"看成是”个等于的乘数的乘积,根据正实数乘积的定义 [14可知,若及以是正有理数,合于 0<<< <5<a, 又因显然c屬于X粗,屬于X租,所以依照这些粗的定义,同时又有 a<ac 但差x-可小于仼意数e>0(9,附注),井且无妨把x当作小于 某一預先指定的数在这种情形,則差 "-c"=(x-w)(xk-1+da-2+…"-1)<e-m"1 郎亦可成为任意小③。由此,依預备定理2,推得数与∝相等 在証明了根的存在以后,可由通常的途徑建立有任意有理指数7 的幂的概念,并可核驗初等代表教本內所講的通常規則对于这种幂都 成立。郊 r aB)=ar·B ()-F等 再着重指出,在α>1时,幂a随着有理指数r的增大而增大。 19.以任意实数为指数的幂現在再定义任意(正的)实数a的8 次幂,其中β亦为任意实数,先引进数a的幂 及 其中指数b及b′为有理数,且满足不等式 6<6<6 位于所有的Φ与cb之間的实数y; 注意,若取<,則数enx就可小于任意数e">0 博士家园论坛流星
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籍論实数 << 称为数a>1④的β大幂(部成a3)2 很易說明,这种数永远存在着。实因,集{a}囿于上,例如,为任 一∞所囿。因此,若取[11 p faby <β 对于这一数将有 assa 事实上,在这里等号井不需要因为我們常可增大b或减小b,使不等 式b<月<b仍能滿足的緣故。这样,数的确能满足条件(1)了。 今轉而証明由这些条件所确定的数的唯一性。 为此,首先要指出預备定理258在数8,8及e非有理数时仍成 立;其証明相同。 其次,建立一个很簡單而且常用的不等式,人們有时称它为員努利 (Ja, Bernouli)不等式:如果是大于1的自然数y>,則 y>1n(y-1). 实因,設y=1+入此处x>0,依牛頓二項公式有 1+)=1+n+… 因未写上的各項均为正数,故 (1+)>1+ 这就相当于不等式(2)。 合設y=a"(a>1),則得不等式 c-1 3) 这就是我們現在就要用到的不等式。 对于任意預先指定的自然數η,我們可这样选取数b及b,使差 6-b小;則依不等式(3) ①我們可以只于这种倩形来討論,在<1时,则詮 博士家园论坛流星 ,2认,,二二
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§.实数的其他性質及应用 m-b-1)<a 因b小于任意的(而且系固定了的)b,故若选取 6(a-1) 式中ε是任意小正数,便可使 ab一cb<8, 在这种情形,依上逃預备定理2的推广,在限界与間不能包含两 个相异的数γ,这就証明了?的唯一性。 若β是有理数,則以上所耠的定义符合于a的通常的定义。 很易驗証,有任意实指数的幂滿足一切通常的指数法則。例如証 明指数相加的法則: 設b,b,d是任意的有理数,滿足 b<月<b,c<γ<'; 則依和的定义[12],有 b十c<B+γ<b+c 而依幂的定义,有 <a<ab,a<α<a",及ct< <artel 把首两个二重不等式逐項相乘(对于有理指数,所要証的法則是已知 的)則得 ab+o<a.a <abl+el 这样,二数c及aa’是位于限界针与a+e之,而且容易証 明,这两个界是可以任意接近的。由此(依預备定理2的推广)推得这 二数是相等的 再証明,在α>1时,冪α°随着实指数β的增大而堆大。若β< <B,則在他們中間插入有理数r:<r<R,依实指数幂的定义,就有 <a”及o<a 博士家园论坛流星
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精論实数 由此 20.对数应用以任意实数为指数的幂的巳希定义,現在便很易 确定以异于1的正数a(例如我們当作c>1)为底的任意正实数y的对 数的存在。 若有这样的有理数r存在,使 則「便是所求的对数。現在我們假定,这样的有理数井不存在。 于是,可以在一切有理数域内,依下列規則作分划BB'。取合于 <y的有理数b归人B粗,取合于∞>γ的有理数b归入B粗。 我們証明,B粗及B粗均非空集。侬不等式(2),有 ax>1+n(a-1)>n(a-1), 井且只須取 便能使>v;这样的自然数n必屬于B粗。同时又因 n( a 故只須取 y(a-1) 便能使c-”<Y,于是B内有数一"。 对于分划的其他要求这里也都滿足。 所构成的分划B|B确定一个实数β,B就成为两組数間的“界 数”。依幂的定义,有 ab<a<ab(b<B<b') 因此a°是滿足一切这类不等式的唯一的数。但对于数y(依分划的构 成)有 a<y<o 故 y而β=1ogay 对数的存在就証明了。 博士家园论坛流星 x“,斗,,-w
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