16 精实数 能的;这可如同对有理数集合的分划一样地来驗証(应用預备定理1)。 1.数藥的界我們应用基本定理[10],在这里建立一些在近世 分析中担任重要角色的概念。(在考察实数的算术运算时就已需要他們 了 設有实数的任一无限集;它可用任何方法耠出。这种数集的例子 是:自然数集,一切属分数集,在0与1間的一切实数集,方程sna 的根的集,等等。 集內的任一数部成,因此x所代表的是集内一般的数,踏数x所 成的集,便能成牙={叫}。 若对所考察的集{叫,有这样的数M存在,使一切M,就說,这 集(被数M)囿于上;这M就是集{x}的上界。例如,分数集被数1 或任何大于1的数囿于上;自然数序列不囿于上 仿此,若能求出数m,使一切m≥=m,就說,集{(被数m)于下, 且数m称为集{}的下界。例如,自然数序列被数1或任何<1的数 囿于下;分数集被0或<0的数囿于下。 囿于上(下)的集,可以又囿于下(上),也可以不囿于下(上)。如, 兵分数集囿于上也囿于下,而自然数序列囿于下,却不囿于上。 若数集不囿于上(下),則称《广义的数》+(一∞)为它的上(下) 界。关于这些《广义的》数或《无的》数,我們有 一∞<+∞及一。<a<十∞ 不論a是怎样的(《有尽的》)实数。 符号+∞和一∞讀着《正无穿》和《負无穷》 若数集囿于上,郎有有尽的上界M,則同时可知这种上界必有无 数个之多(例如,任何>M的数,显然亦是上界)。在一切上界内,最小 的上界特别有用,它称为上确界。坊此,若数集囿于下,則一切下界中 的最大者,便称为下确界。如对于一切填分数集,0及1就各为下确界 及上确界。 博士家园论坛流星 y·如x
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§2.无现数的导入·实数城的顺序 17 成为問題的是:囿于上(下)的数集是否永远有上(下)确界存在? 实际上,由于上(下)界既是一无限数集,而在无限数集中井井恒能找出 最小者或最大者①,故在所考察的数集的一切上(下)界中有这种最小 (大)数存在还需要加以証明。 定理若集多=以囿于上下)則它必有上下)确界 証明在进行关于上界的討論前,先考察两种情形: 1°在集的諸数中有一最大数那时,集內的一切数将 滿足不等式x即彩为的上界。另一方面,屬于;因此,对 于任何的上界M成立不等式≤M由此得袺論,-是梁集的上确 界。 2°在集的諸数x中无最大数用下列方法产生实数域内的 个分划。取集的一切上界c归人上組A内,一切余下的实数 归人下組A内。在这样分拆时,集,的一切数将全部落在A組内 因依照假定,其中沒有最大数。这样,A粗及A'粗均非空集。这种分 拆实际上就是一个分划,因一切实数均已分人两粗,且A'粗内的任 数必大于A粗内的任何数。依戴狄金基本定理10],必有产生分划的 实数β存在。一切数x,因屬于A粗,均不能超过这《界》数β,郎β可 以用来作为的上界,故B本身圖于A'粗,且成为該粗的最小数。这 样,β就成为一切上界中的最小数,即是所求的集梁={}的上确界。 定理的下牛部(关于下确界的存在)的証法完全与此相同。 若M是数集牙={a的上确界,則对于一切恒有 ≤M 今取小于M*的任意数a,因M*是上界中的最小者,則a一定不 会是集的上界,即必能在中求出数心使 ①例如,在-切分数的集中,使没有最小及最大者。 博士家园论坛流星
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精論实数 用这两个不等式就能完全表明集梁的上确界的特征 仿此;集.的下确界m*的特征可以用下面的話来表明:郎对 于中的一切c有 但对于任一大于m*的数β,必能在,中求出数a",使 ac<B 数集的上确界是M*及下确界是m*常用下列符号来記: M*=sup sup(a, m*=inf. =inf (y (依拉丁文: supremum=最高的, infimum=最低的) 請注意一个明显的、以后常会遇到的推論 若某数集的一切数满足不等式政則必≤题 实际上,数M显然是数集的上界之一,因此,一切上界中的最小者 总不能超过它。 仿此,由不等式≥m,推得in(之m 最后我們門約定,若数集坐一{)不囿于上,便說,它的上确界是 ∞:8p{}=+∞。伤此.若数集,2={不囿于下,則歌,它的下 确界是-∞:inf{f=-∞。 §3.实数的算术运算 12.实数的和的定义今轉而建立实数的运算的概念。在以后 a,B,y,表示实数,可以是有理数,也可以是无理数。 設有二实数a及β。先考察有理数a,“'及bb它們滿足不等式: a<a<a及b<B<b (1) 如果实数于一切形如+b的和与一切形如2+b的和之間: a+b<y<a+b (2 博士家园论坛流星
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§3.实数的算术运算 則称为数a及β的和,为a+B。 首先須証明,对于任何一对实数a,必有这样的数γ存在。 考察一切可能的和a+b所成的数集。这数集是囿于上的,例如 任何形如a+b的和为其上界。假定[11 y=gupta+b. 則a+b≤,而同时,y≤a+b 因为对于任何一粗滿足于条件(1)的有理数a,b,a,b,不論它們 怎样,我們常常可以把a,b搶大,也可以把a,b减小,使得件(1) 仍能滿足,所以在剛扌得到的两个合有等号的关系式a+b≤γ及 γ≤以+中,实际上沒有,处能成女等式。这样,数y便滿足于和 的定义。 但又發生了問題,由不等式(2)所确定的和y=c+B是否为單值 的?为了要証实和的唯一性,依9的附注,选取有理数a,b,w’,b使 a<e及b~b< 式中e为任意小的正有理数。由此, (a+b)-(a+b)=(a-a)+(b-b)<2, 郎这差亦能使成为任意小④。所以,依預备定理2,位于形式如a+b的 和与形式如a+b的和之間的数仅存在着一个。 最后注意,若数α及β均为有理数,則显然它們的通常的和γ =a+β滿足于不等式(2)。这样,上遽两实数和的一般定义拌不与两 有理数和的原来定义相矛盾。 13.加法的性質很易証实,对于实数下列的性質仍然保持: β=B+x;Ⅱ2(α+β)+y=a+(月+y); II3c+0=〔 例如,我們証明最后一个性質。若有理数a,u,b,b,是这样的数, ④若取<2則数2便小于任何小的数e>0 博士家园论坛流星
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储設实数 使 a<a<a, b<0<b' 則显然 a+o<a<a<a<a+b 这样,∝是位于形如a+b与a+b的数之問的实数,依定义,在那 两种数閭又存在着和a+0。但这样的数仅有一个,因此a+0=a,这就 是需要証明的。 現在証明性質Ⅱ4,对于低一实数a,存在着对称于的)数-a 薄足务a+(a)=0 在这里,只要就无理数α的情形来証就够了。 假定,数a被分划A4所确定,我們用下法确定一a。我們取 切有理数一c归入数-c的下組A,此处a是A粗的任何数,取一切 数一a归入-a的上粗A,此处a是A組的任何数。不难看出,这样 构成的分拆实际上就是一个分划,因此确定出一个实数(在現在的情形 是无理数把这数成 今証明它滿足上泷的条件。应用数一a的确定法,看出和a+(一a) 是位于形如a-a'与a'…a的数中問的唯一实数,此处a及a是有理 数,且a<<。但,显然 0<匹一, 于是数0也位于方扌所逃的数之間。但具有这种性質的数是唯一的, 故有 a+ a)=0 这就是需要証明的。 最后,証明性質: Ib。由∝>月推得+>B+a 若∞>,則在它們中間可以插入二有理数r1及r:a>r1>r>B。 依9中的附注,必有二有理数c及c存在,使 c<γ<c’及c-e< 由此 r1+c>r2+t, 博士家园论坛流星
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