s.无理数的导入·实教城的顺序 I2°由>8,By推得a>y。 設数a,B,y(它們中閭可能有有理数)是由分划AA",B|B,O|C 来确定的。若a>,則依大于”的定义,A粗包含B粗,且并不与它重 合。但因B>%,故B粗包含C租,且不与它重合。因此,A粗亦包含0 粗,并且不与它重合,印a>y。 如在2中一样現在可以建立“小于”的概念:若β>a,則我們說 以<。<号亦与>号一样具有傳遞性 8.辅助命題現在我們来建立实数域的稠密性(比較Ⅱ3°);准确 些說,我們将証明下列論断: 預备定理1.对于不喻怎样的两个突数a及其中a>B,熄有 个位千它們中周的有理数r:a>r>6(因此,这种有理数有无个) 因a>月,故确定数a的分划的下粗A整个包舍确定B的下粗B 且不与B重合。因此在A内必有有理数,它不包含在B内,于是必屬 于B,对于它 x>r≥B (只有在B为有理数时始能成立等式)。但因为在A内无最大数,故在 必要时,把r取得大一些就可以取消等式。 附注我們事实上已証明了比实数域的稠密性还要强的性賀:钿 在实数a与β(若a>B)之問必定存在着有理数(不仅是实数)以后 我們就将引用这个更强的稠密性。 由此直接推得 預备定理2.設定两个实数a和B2如果任取二个数e>02数 a及A都能仗于同一对有理数。与之同 这对数的差小于e: 則数a8必须想等。 博士家园论坛·流星
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精实数 証明我們用反缸法来証明。例如設a>月,依預备定理1,在a 与β閭可以插入两个有理数r及r>r: r>r>B 于是对于任何二数8及8,当a及β都在它們之間时,显然成立如 下不等式 由此 >r->0 因此差s-8不能小于数e=r-r,違背預备定理的糸件。这矛盾郎証 明了預备定理。 9.用无尽小数来爽示实数現在我們者虑这样的表示实数的方 法,即其分数部分(尾数)是正的,而同时,其整数部分可以为正的、負的 或零 首先假定被考察的实数α#非整数,亦非有尽十进小数。現在要 来求它的十进小数近似值。若a由分划AH所确定,則首先易見在A 粗内必有整数M,又在4粗内亦必有整数N>M。在M上次第加1 必能得出这样两个相邻的整数Co及Co+1,使 C0<a<C0+1 这里的数Co可以为正的、負的或零。 若再用数 Co1;Ca2;…;Co.9, 分00与C0+1間的区間为十等分,則a必(且仅)落在其中之一个部分 区間内,因此我們又求得相差为1的两数:C1改Co十10且肴 Coc1<a<coc+ 繼这样分下去,在确定数碼C,,…,Cm-后,我們就用不等式 Cocg…,cn<a<Cocc2…cn+1 定义第v位数碼c 这样,在求数a的十进小数近似值的过程中,我們求得整数C及 博士家园论坛流星
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5.无熴的导入·实数域的顺序 数碼1,@,…,cm…的无尽序列。由此租成的无尽小数,即記号 coc CR+. (2) 可以看成是寒数a的一种表示。 在例外的情形,当本身就是整数或有尽小数,亦可以用相似的方 法由比(1)更普通的关系式 C…g…≤asas+t0 来相艦地确定数Co及数碼c,cr,…,cm,…事情是这样的,到某时,数 α会重合于包含它的区間的一端,重合于左端或右端都行;从这时开 始,相应地,在(1a)中左端或右端就将經常不变地成立等式。按照成立 等式的是左端还是右端,这以后的各数碼就将全是0或全是9。因此, 这时a就有了双重的表示,一种是用零循环的,一种是用9循环的,例 如 3826=3.826000…=3825999…, 3826=4.174000…=4.173999… 反之,分設任耠一无尽十进小数(2);我們要証明总可以找到一实 数a,剛好是被这小数所表示的。为此,我們来考察小数(2)的一段 Cn=C0c1c2…cm (3) 把它作为所求数的“亏(不足的)近似值”,同样把 C=Co1c2…cn+ 10 作为其“盈(过剩的)近似值”。不难看出,每一C,小于每一C。現在 我們用如下法来定有理数城的一个分划:把大于一切C的有理数a (例如,一切数O放在上粗A內,而把一切余下的数(例如,数C本 身〕放在A粗內。很易驗証,这就是我們所要的分划,它确定了所求的 实数a。 实則因a就是在两粗之間的界数,因此,当然成立 ≤a≤C 博士家园论坛流星 M和
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14 槠阶实数 郎数α滿足于一切(1a)型的不等式。这就証明了小数(2)就是所求实 数的表示式。 盈十进近似值()和亏十进近似值(3)的差等于,随着x的增 大,这差可小于任何有理数e>0.事实上,因不超出数1的自然数仅 能是有穷多个,故不等式10°≤1,或相当的不等式1≥e仅能对有 穷个的值滿足;对于其余一切第的值,将有 Ike 由这附注,依預备定理2,可得詰論:任一异于α的数β,既不能象∝那 样滿足一切不等式(1)或(Ia),故其无尽十进小数表示式必与a的表示 式不同。 持别是由此推得:不等于有尽小数的数,其表示式不能以0或9来 循环,因为任一以0或9来循环的小数显然表示有尽小数。 仝后韻者就可以将实数想象为无尽卜进小数。由中学課本内,人 們知道,无尽循环小数表示有理数,反之,任一有理数总可化成循环小 数。这样,不循环的无尽小数,就用来表示我們新引入的无理数(这 概念也可作为建立无理数的理論的出發点) 附注下面我們将常应用有理近似值a及a'以接近实数a,这时, <<君 其差d-a可为任意小对于有理数a,显然存在着这种数a及c;对 于无理数a也可以有这样的a及c例如,当充分大时应用十进近似 值Cm及C 10.实数城的邀额性今轉而老察一切实数所成之域的一个極重 要的性質。这种性質使实数域在本質上异于有理数域。在考察有理数 域的分划时,我們已看到,有时有这样的分划存在,使在有理数城內井 无产生此分划的界数。正是由于有理数域有这种不完备性,郎在它們 中間存在着这些空隙,所以我們扌要引入新数-——无理数。今开始考 博士家园论坛’流星
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§2.无理数的导入·实数城的顺序 I6 察实数域的分划。在这种分划之下我們把这数域分拆成两个均井空集 A及A’,使能滿足: 1°每一实数必落在集A4,中一个具仅一个之肉 2°集A的每一数a小于集A的每~数a 現在發生了間题:对于这样的分划A|A',是否永远能找到一—在 实数城内 个产生这分划的界数,或在这数城内还存在着空隙(这 种空隙可作为再引入新数的理由) 要指出,事实上并沒有这种空隙 基本定理(戴狄金)对于突数域肉的一分划A4必有产生这 分的实数B存在这数B1或是下租A内的最大数,2)或是上 粗A内的最小数。 实数城的这一性質常称为它的完备性,也称为它的連額性(或密接 性) 証明将屬于A的一切有理数集部成A,膈于A的一切有理数 集記成A。容易証明,集A及4形成有理数域内的一个分划。 这分划A|确定出某一实数R。它应該落在A粗或A'粗之一 内。假定β落在下組A内,則情形1便实現了,就是β成为A粗的最 大数。实际上,如果不是这样,便可在这粗内找出大于β的另一数a 来。今在a与之間(依預备定理1)插入有理数r ao>r>B r亦屬于A故必屬于A的一部分A。我們便得出謬論:有理数r屬于 确定β的分划的下組,却又大于这数!这便誑明了我們的論断。 我們还可以証叽类似的論断,如果B落在上粗A内,則情形2)就 实現了。 附注同时在A租内存在最大数,在A組内存在最小数是不可 ④参阳第7真注。 博士家园论坛流星
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