論实数 由此推得-b=(,再由[II1得b0=02 反之,若ab=0又b≠0,則必須a=0。实因,a=0,但同时又 有0=0(因b0=0),因为商是唯一的,故a=0。 最后,我們指出联系符号>与乘号的一个性質 ⅢI6°由a及c0推得a>b。 据此可以用正数乘不等式的两边。由此可知,当>0及b>0时, 亦必有ab>0 注意,(-a)b=-{a·);这由下面推得 a·b+(-)6=[a+(-a)]b=0b=0 現在不难看出,若a<0,b>0,于是a b,則 1)< 当a>0,b<0时亦如此,又若a<(,b<,貝 (-a|)(-b1)=-[|a:“(-i61) -(ai·|6.)]=|a}·ib;>0. 这样,我們已完全重新建立了关于乘法的符号規則,这些符号規則 現在已成为有理数的上逃性質的遜輯推論∫。換言之,如果有理数要 懣足上逃讀性贸,就必定要篷守这些符規則关于乘以0的規則也 可以这样說(如上所逃〉 在处理了加法和乘法的性質以后,我們現在能够証明在前面数的 基本性賀[I3°]中已逑及的有理数城的稠密性了。就是,可以用它們 証明,例如,由a>b推得a 十 2 5.阿基米德公理我們用下列的簡單而重要的論証,来秸束我們 的有理数基本性質一覽表。这一性質是不能由上逃的諳性賀里推得 的 I1°不論c>0是怎样的数,总有大于c的自然数n存在着 (《阿基米德公理》) 博士家园论坛流星
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无理数的导入实数城的顺序 实际上,阿基米德會說明一个凡何的命題,即为众所周知的《阿基 米德公理》 若模上舱定〔意两幾及B則A重复相加着千卮其和 总可以大于B A+.4+…+A=A1>B 若将这論証轉而对正数a及b来叙逃,它便肯定有这样的自然数 算存在使 观+ 4=◆n >b 若应用已研究过的有理数的性贸,則这不等式相当于>°;把 商記成c,我們便得出上面所叙速的IV1°。 s2.无理数的导入·笑数域的順序 6.无理数的定义有理数集及其在第一节内列举的一切性贺,作 为是已耠的。 我們仿效戴狄金(R. Dedekind)来叙邈无理数的理論。有理数域 内的分划的概念是这理論的基硏、若将有理数全体所成的集合分拆为 两个非集合(郾至少包含一个数的)4,A'。我們把这样的分拆叫做分 划,只要滿足糸件 1°〔一有理数,在具仅蕉A及二集之一①中出現 2°集A肉的低一数必小于集内的任一数d 集A称为分划的下組,集4为上粗。分划肥成A;H 由分划的定义推得,小于下組内的数a的一切有理数也都屬于下 “任一有理数仪在二集之一中出现”达一事实亦可由2°推得。 博士家园论坛流星
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锗实数 粗。仿此,大于上粗内的数a的一切有理数亦都屬于上租。 例1.一切有理数a,滿足不等式a<1的,定为集,一切滿足 ≥1的都算人集A。 很易驗証,这样,我們实际上巳得出分划了。数1屬于A粗,且显 然成为其中最小的数。由另一方面看,在A粗内无最大数因不論我 們在A內取怎样的数恒能在a与1之問指出有理数a1来,因而它必 大于a井且屬于A粗。 例2.取小于或等于1的一切有理数a,≤1,归人下租A取大 于1的一切有理数a,叫>1归入土租。 亦得一分划,且其中在上租无最小数,而在下粗有最大数(郎1)。 例3.取使a2<2的一切正有理数a数0及一切負有理数归入A 租,使a2>2的一切正有理数c归人A粗 很易証明,我們亦已得出分划。此处,在A粗内既无最大数,在 H'粗内亦无最小数。我們将証明,例如,这論断的第一点(第二点同样 可以証明)設a为A粗内的任意正数,則a2<2再証;必能得这样的 正整数n使 +)<2 于是a+亦屬于A。 这不等式相当于: 2+ <2 若滿足不等式<2-a2,则土面第二个不等式也自然能满足 了。为此,只須取 24 2-a2 而这是恒为可能的[依《阿基米德公理》I1°]。因此,不論a为A组 内的怎样的正数,在这A組內修能求得大于它的数;又因为当≤0时 博士家园论坛·流星
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无理数的导入·实数域的顺序 这論証显也成立,故在A粗内沒有任何数能成为最大的。 很易明了,不可能有这样的分划存在,在它的下租内有最大数aQ 同时在上租内又有最小数aa实际上,假設这样的分划存在着。則应 用有理数的稠密性[I3°,必能取得一个位于a与a之間的有理数 <<吗。數e不能屬于A粗,因否則,“就不是此粗的最大数,仿 此,c亦不能腐于4粗,但这是与定义分划的概念的性質°相矛盾 的。 这样,分划仅能有三种类型,如剛才例1,23所表明的: 1)在下租A内无最大数,而在上粗4内有最小数r; 2)在下租A内有最大数r,而在上粗内无最小数; 或3),在下粗内既无最大数,在上粗内亦无最小数。 在前两种情形,我們說,分划由有理数r所产生(成为A与H之 閭的界数),或說分划定义有理数在例1,2中,1便是这样的数。在 第三种情形界数不存在,分划并不定义任何有理数。今引入新的对 象—无理数。疆我們約定,低一3到的分划定义某一无理数a。这 个数α便代替缺少的界数,我們好象把它插人在A租的一切数a与 A'粗的一切数a’中間。在例3中,这新創的数,很易推想而知,是 2 我們井不引人无理数的任何同一式样的記法④,我們总是把无理 数a理解为有理数域中确定它的分划AA。 为了一致起見,同样来理解有理数r也常是很方便的。但对于任 一有理数r存在着确定它的两种分划:在两种情形中,数a<r总是屬 于下粗,数叫>r总是屬于上租,而数r本身可以任意包含在下租(这 时r为下組的最大数),或包含在上粗(r为上粗的最小数)。为了确定 起見,我們約定:凡說到确定有理数r的分划时,常把这数放在上粗内。 ④这里說的是有尽的記法,对于无尽的法,牘者在9申会熟警它。个別松定的无 理散我們粑常总是用这数所由产生的关系式来配它,如vz,15,Ein10°等, 博士家园论坛流星
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精鈐实数 有理数及无理数总称为实数。实数的概念,为数学分析的基本概 念之 7.实数域的順序由分划A及BB所确定的二无理数a及 B,当且仅当二分划为恒等时,始認为相等。实际上只要下粗A及B互 相重合就够了,因为这时H与B亦必互相重合。这定义在数a及 为有理数时,仍可保持不变。換言之,若二有理数a与β相等,則确定 它們的分划相重合,反之,由分划的重合推得数&与β相等。在这里, 自然仍須泩意到,以分划来确定有理数时的上逃剎定。 現在轉而建立关于实数“大于”的概念。关于有理数这概念早已建 立了。对于有理数y与无理数a之間,“大于”的概念实际上在6中已 建立了:凯,若a由分划A所鸸定,我們便算作a大于A租中的一切 有理数,同时H粗中的一切有理数大于a。 現在設有二无理数∝及β,a由分划A|A,B由分划BB所确 定。我們将称有較大下粗的那个数为較大数。更准确些說,若A組整 众息贪着B,并具不与重合則算作>月。(这条件,显然,相当于: B粗整个包含着粗,并且不与它重合很易驗証,当a之一是 或甚至二者都是有理数时,这定义仍可保持。 現在証明实数均能滿足性賀I1°及2°。 I1°任一对(实)数a与B之間必有且仅有下列三种关系之一: a=B,a>B,p>6 若确定a的分划A4与确定β的分划BB相重合,則a=B。若 这二分划不相重合,則或4整个包含B这时∞>月),或不是这样。在 后一情形,B粗内有元素bo,落在A粗内。則对于A粗内的任何元素 必有a<b因此B粗整个包含A組,且不与它重合,于是我們有 浸有这条件,例如,在自的例I及2内所考察的分划,双方都定义数1,但非恒等 博士家园论坛流星
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