第4章时间响应分析阶系统的固有特性，工愈小，系统的惯性愈小，响应过程愈快。表4.1一阶系统的单位阶跃响应0T2T374ST1000...1xo(0)0.6320.8650.950.9820.993Xo)一斜率！T0.632X,(0)=1-eT图4.5一阶系统的单位阶跃响应4.2.3单位脉冲响应和单位阶跃响应的关系从单位脉冲响应和单位阶跃响应的表达式可以看出二者之间存在积分和微分关系，而单位脉冲信号和单位阶跃信号之间也存在积分和微分关系，由此可以得出线性定常系统的一个重要性质：如果系统的输入信号存在积分和微分关系，则系统的时间响应也存在对应的积分和微分关系。由于单位阶跃信号的积分为单位斜坡信号，利用这个性质，对单位阶跃响应积分后可得出一阶系统单位斜坡响应为x(0)=14.3二阶系统的时间响应能够用二阶微分方程描述的系统为二阶系统，其典型形式是振荡环节。很多实际系统都是二阶系统，许多高阶系统在一定条件下也可以近似地简化为二阶系统来研究。因此分析二阶系统响应具有重要的实际意义。二阶系统的微分方程和传递函数的表达式为dx0+250mdx(+%x()=0x(1)dt?dto.X(s)(4.9)G(s) :X,(s)-2+20,s+0式中，の为无阻尼固有频率；为阻尼比。の和是二阶系统的特征参数，它们表明了二阶91
91 阶系统的固有特性，T 愈小，系统的惯性愈小，响应过程愈快。 表 4.1 一阶系统的单位阶跃响应 t 0 T 2T 3T 4T 5T . ∞ xo(t) 0 0.632 0.865 0.95 0.982 0.993 . 1 图 4.5 一阶系统的单位阶跃响应 从单位脉冲响应和单位阶跃响应的表达式可以看出二者之间存在积分和微分关系，而单位 脉冲信号和单位阶跃信号之间也存在积分和微分关系，由此可以得出线性定常系统的一个重要 性质：如果系统的输入信号存在积分和微分关系，则系统的时间响应也存在对应的积分和微分 关系。 由于单位阶跃信号的积分为单位斜坡信号，利用这个性质，对单位阶跃响应积分后可得出 一阶系统单位斜坡响应为 1 ( ) 1 t T o x t t T e − = − − 4.3 二阶系统的时间响应 能够用二阶微分方程描述的系统为二阶系统，其典型形式是振荡环节。很多实际系统都是 二阶系统，许多高阶系统在一定条件下也可以近似地简化为二阶系统来研究。因此分析二阶系 统响应具有重要的实际意义。二阶系统的微分方程和传递函数的表达式为 2 2 2 2 d ( ) d ( ) 2 ( ) ( ) d d o o n n o n i x t x t x t x t t t + + = 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 o n i n n X s G s X s s s = = + + （4.9） 式中， n 为无阻尼固有频率； 为阻尼比。 n 和 是二阶系统的特征参数，它们表明了二阶
机械控制工程基础系统本身与外界无关的特性。令系统传递函数的分母等于0，得到二阶系统的特征方程：s?+250,$+0=0此方程的两个特征根是S,2=-50, ±o,52-1(4.10)由此可见，随着阻尼比取值的不同，二阶系统的特征根也不同。①当0<<1时，为欠阻尼系统，特征根为一对共轭复数，即系统具有一对共轭复数极点S, =-5, ± jo, 1---5, jo式中，0a=y1-，称二阶系统的有阻尼固有频率。②当=1时，为临界阻尼系统，特征根为两个相等的负实数，即系统具有两个相等的负实数极点S12 =-0③当>1时，为过阻尼系统，特征根为两个不相等的实数，即系统具有两个不相等的负实数极点S12 = -Eo, ±, VE2-1④当=0时，为无阻尼系统，特征根为一对共轭纯虚数，即系统具有一对共轭虚数极点S12 =+jon4.3.1二阶系统的单位脉冲响应与一阶系统一样，二阶系统在单位脉冲信号作用下的输出称为单位脉冲响应。当输入信号x(t)=8(0)时，X(s)=L[8(0)]=1,则o.X(s)=G(s)X,(s)=7 +250,s+0)o,02X,(s)=(s+50,)+(0,1-g2)(s+50,) +0上式取拉氏逆变换后得到响应02(4.11)x。(0)= L"[X。(s)] =(s+E0,)? +0?①0<E<1（欠阻尼）。/1-20.x()=L($+0,)+0yi-5292
92 系统本身与外界无关的特性。 令系统传递函数的分母等于 0，得到二阶系统的特征方程： 2 2 2 0 n n s s + + = 此方程的两个特征根是 2 1,2 1 n n s = − − （4.10） 由此可见，随着阻尼比 取值的不同，二阶系统的特征根也不同。 ① 当 0< <1 时，为欠阻尼系统，特征根为一对共轭复数，即系统具有一对共轭复数极点 2 1,2 1 n n n d s j j = − − = − 式中， 2 1 d n = − ，称二阶系统的有阻尼固有频率。 ② 当 =1 时，为临界阻尼系统，特征根为两个相等的负实数，即系统具有两个相等的负 实数极点 1,2 n s =− ③ 当 >1 时，为过阻尼系统，特征根为两个不相等的实数，即系统具有两个不相等的负 实数极点 2 1,2 1 n n s = − − ④ 当 =0 时，为无阻尼系统，特征根为一对共轭纯虚数，即系统具有一对共轭虚数极点 1,2 n s j = 与一阶系统一样，二阶系统在单位脉冲信号作用下的输出称为单位脉冲响应。当输入信号 ( ) ( ) i x t t = 时， ( ) [ ( )] 1 X s L t i = = ，则 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 1 2 n o i n n X s G s X s s s = = + + 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( 1 ) n n o n d n n X s s s = = + + − + + 上式取拉氏逆变换后得到响应 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) n o o n d x t L X s L s − − = = + + （4.11） ① 0< <1（欠阻尼）。 2 1 2 2 2 1 ( ) 1 ( ) n n o n d x t L s − − = − + +
第4章时间响应分析0-Solsinogt(t≥0)(4.12)yi-E2②=1（临界阻尼）。0te~e(t≥0)(4.13)x.(0):(s+0.)③>1（过阻尼）。10x(0)=2/2-1JE2-1)o[s+(5+ e2-1)0s+(E-0--1)0u -e-(5+-1)0,1(t≥0)(4.14)2V22=0（无阻尼）。O.(I≥0)(4.15)x.(0)=Lo.sinot+0.取不同值时，二阶欠阻尼系统的单位脉冲响应如图4.6所示。由图可知，欠阻尼系统的单位脉冲响应曲线是减幅的正弦振荡曲线，愈小，衰减愈慢，振荡频率愈大。故欠阻尼系统又称二阶振荡系统，其幅值衰减的快慢取决于衰减指数。4 x0(0)(Ow1.00.80.60.40.2U0.20.40.60.81.0ou21046812图4.6二阶欠阻尼系统的单位脉冲响应4.3.2二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的输入信号x()=u()时，X(s)=L[u(0)]=一，则93
93 2 e sin 1 n n t d t − = − （t≥0） （4.12） ② =1（临界阻尼）。 2 1 2 2 ( ) e ( ) n n t o n n x t L t s − − = = + （t≥0） （4.13） ③ >1（过阻尼）。 1 1 2 2 2 1 1 ( ) 2 1 ( 1) ( 1) n o n n x t L L s s − − = − − + − − + + − 2 2 ( 1) ( 1) 2 e e 2 1 n n n t t − − − − + − = − − （t≥0） （4.14） ④ =0（无阻尼）。 1 2 2 ( ) sin n o n n n n x t L t s − = = + （t≥0） （4.15） 取不同值时，二阶欠阻尼系统的单位脉冲响应如图 4.6 所示。由图可知，欠阻尼系统的 单位脉冲响应曲线是减幅的正弦振荡曲线， 愈小，衰减愈慢，振荡频率 d 愈大。故欠阻尼 系统又称二阶振荡系统，其幅值衰减的快慢取决于衰减指数 n 。 图 4.6 二阶欠阻尼系统的单位脉冲响应 二阶系统的输入信号 ( ) ( ) i x t u t = 时， 1 ( ) ( ) X s L u t i s = = ，则